MastersForum

dim A müsste dim Bild + dim Kern sein.

d.h. wenn der Rang der Matrix 2 ist, ist dim von Bild und Kern jeweils 2, weil die Matrix vom R^4 in den R^3 abbildet.
d.h. zum Kern nimmst du halt noch a=(0,-3,1,1) (transponiert)
und hast dann mit a und deinem schon ausgerechneten Vektor die Basis.
und für die Basis des Bildes müsstest du noch 2 Vektoren in der Matrix finden, die linear unabhängig sind und die anderen beiden Spalten ergeben.
ich glaub (3,-6,9)^t und (1,1,-3)^t müsste z.B. gehen.

Zum 1.)

Generell nützt es die Matrix in Zeilenstufenform zu bringen..

1 0 -1/3 1/3
0 1 6 -3
0 0 0 0


daran kann man erkennen, dass die ersten beiden Spalten die Pivotspalten sind und die entsprechenden Spalten der ursprünglichen Matrix (also die 1. und 2.) bereits eine Basis des Bildes bilden..

Zum 2.)

Der Rang ist unabhängig von alpha immer 3. dh. die Matrix besitzt vollen Rang und ist somit invertierbar und hat folgend für Ax=b IMMER eine eindeutige Lösung x=A^-1 b

Über die reduzierte Zeilenstufenform, die immer die Einheitsmatrix ergibt, unabhängig von alpha. => alle Spalten sind l.u. => invertierbar.

@Springa
hehe, da trumpft er auf

_Neo