Sie sind nicht angemeldet.

  • Anmelden

Mathematik

Smooth

Profi

  • »Smooth« ist der Autor dieses Themas

Beiträge: 1 345

Beruf: NL

  • Nachricht senden

1

17.10.2004, 21:07

Mathematik

Zeigen sie

sin(x) < |x|

Ich hab das schonmal erklärt, kann aber nichts mehr erkennen und komm von selbst nicht mehr drauf, habs mit Additionstheoremen gelöst, wobei mir die Graphische darstellung von f(x)= x und f(x)=sin(x) geholfen haben...

Danke

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »Smooth« (17.10.2004, 21:08)

MfG_Stefan

Profi

Beiträge: 1 113

  • Nachricht senden

2

17.10.2004, 21:25

auf den ersten Blick würd ich sagen sin(x)<= |x|,
da für x=0 Gleichheit gilt und falls l´hospital anwendbar ist, ist es klar weil sin(x) immer <= 1 ist.
Sonst vielleicht über die Darstellung des Sinus als unendliche Reihe.

plexiq

Profi

Beiträge: 1 512

Wohnort: Wien

  • Nachricht senden

3

17.10.2004, 21:28

Äh, die Behauptung sin(x)<|x| is relativ trivial zu widerlegen:
sin(x)=0
|x|=0

(0<0) => false ;)


Falls die Angabe eigentlich sin(x)<=|x| heissen sollte:
Interessant is hier offensichtlich nur der Bereich von 0 bis 1, da die Behauptung für x>1 bzw x<0 offensichtlich richtig ist.

Ableitung von sin(x) = cos(x), dh wir haben bei x=0 ne Steigung von 1, und für 0<x<=1 ne Steigung<1.

Die Gerade y=x hat offensichtlich immer Steigung 1 ;)

Also, für 0<x<1 gilt:
|x|' > sin(x)'

Dh:
Wir haben für x=0 gleiche Funktionswerte, und da |x| immer schneller steigt als sin(x) wird der Abstand monoton grösser.

Folgerung: die Behauptung sin(x)<=|x| stimmt.

Smooth

Profi

  • »Smooth« ist der Autor dieses Themas

Beiträge: 1 345

Beruf: NL

  • Nachricht senden

4

17.10.2004, 21:32

Ja, ist kleiner gleich Betrag von x, hab nur irgendwie das "=" vergessen :rolleyes:
Danke plex, studierste Mathe?

plexiq

Profi

Beiträge: 1 512

Wohnort: Wien

  • Nachricht senden

5

17.10.2004, 21:35

Eigentlich Informatik, aber da gibts genug Mathe ;)

Smooth

Profi

  • »Smooth« ist der Autor dieses Themas

Beiträge: 1 345

Beruf: NL

  • Nachricht senden

6

17.10.2004, 21:40

Ich habs wieder

1= cos²(x) + sin²(x)
sin² = 1- cos²(x)

Ableitung
sin'(x)= cos(x) < 1 = |x|' für 0<x<1

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »Smooth« (17.10.2004, 21:42)

Smooth

Profi

  • »Smooth« ist der Autor dieses Themas

Beiträge: 1 345

Beruf: NL

  • Nachricht senden

7

17.10.2004, 21:41

Nach de L'Horbital :D

Hostagetaker

Fortgeschrittener

Beiträge: 570

Wohnort: München

Beruf: GER

  • Nachricht senden

8

18.10.2004, 07:04

ich glaub man muss sich eher den Grenzwert vor Augen führen ^

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »Hostagetaker« (18.10.2004, 07:04)

Springa

Profi

Beiträge: 600

  • Nachricht senden

9

18.10.2004, 15:59

Zitat

Original von MfG_Stefan
auf den ersten Blick würd ich sagen sin(x)<= |x|,
da für x=0 Gleichheit gilt und falls l´hospital anwendbar ist, ist es klar weil sin(x) immer <= 1 ist.
Sonst vielleicht über die Darstellung des Sinus als unendliche Reihe.


Das mit der Reihe klingt interessant..

sin(x) um den Nullpunkt entwickelt ist bekanntlich eine McLaurin-Reihe:

sin(x)= x-x³/3!+x^5/5!+-.... (-1)^(n+1)x^n/n!...

Da aber zu zeigen, dass dieser Wert 1 nie überschreitet bzw -1 nicht unterschreitet, ist glaub ich nicht so leicht..
Vielleicht kann man sie durch eine Majorante abschätzen...
On the fly fällt mir jetz nix anderes ein.. du ein paar Ideen??

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »Springa« (18.10.2004, 16:03)

myabba|abra

Erleuchteter

Beiträge: 4 305

Wohnort: Regensburg

Beruf: GER

  • Nachricht senden

10

18.10.2004, 16:08

löl leute hier gehts um 10. klässler stoff^^

CF_Terratos

Fortgeschrittener

Beiträge: 448

Wohnort: Ludwigsburg / BW

Beruf: GER

  • Nachricht senden

11

18.10.2004, 16:31

lol? wo lernt man sowas in Klasse 10?

Bei uns wird das in 12/13 gemacht, auch die Ableitungen lernt man erst in 12, erscheint mir sehr unwahrscheinlich, dass man sowas schon in 10 macht...

GWC_Rapublik

Fortgeschrittener

Beiträge: 299

Wohnort: stuttgart

  • Nachricht senden

12

18.10.2004, 16:34

ja, bin 12. klasse und ableitungen von sin(x) und produkten usw. lernen wir erst jetzt.

MfG_Stefan

Profi

Beiträge: 1 113

  • Nachricht senden

13

18.10.2004, 16:48

@Springa: glaub auch, daß es so nicht so leicht ist.
aber für x>0 sollte: -x³/3!+x^5/5!+-.... (-1)^(2n+1)x^(2n)/(2n!)... schon negativ sein.
Denn x^(2n)/(2n!) ist monoton fallend (für x nahe 0) (Quotientenkriterium).

Hostagetaker

Fortgeschrittener

Beiträge: 570

Wohnort: München

Beruf: GER

  • Nachricht senden

14

18.10.2004, 17:01

@rapublik: kann nicht sein, hast letztes Jahr nicht aufgepasst

und das mit dem Beweis hat doch garnix mit Ableitung zu tun ihr n00pel :D

wie gesagt es ist 10klass-stoff^^ da kann man nicht mal ableiten o.O

kann man nicht einfach sagen dass der sinus maximal einen wert von 1, bzw, minimal -1 annimmt.
=> für x > 1 bzw. x < 0 ist x schonmal sicher größer als der sin von x

x < 0 wegen Betragstrichen

Ich stell mal einfach, mir nichts dir nichts :>, die Behauptung in den Raum dass es was mit dem Einheitskreis zu tun hat

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »Hostagetaker« (18.10.2004, 17:03)

MfG_Stefan

Profi

Beiträge: 1 113

  • Nachricht senden

15

18.10.2004, 17:08

also die schönste und einfachste Erklärung steht schon in plexiqs erstem Beitrag. ;)
Edit: oh, hab überlesen, daß du es ohne Ableitung machen willst.

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »MfG_Stefan« (18.10.2004, 17:09)

CF_Terratos

Fortgeschrittener

Beiträge: 448

Wohnort: Ludwigsburg / BW

Beruf: GER

  • Nachricht senden

16

18.10.2004, 17:13

Zitat

Original von GWC_Rapublik
ja, bin 12. klasse und ableitungen von sin(x) und produkten usw. lernen wir erst jetzt.


jo, aber du bist aus Stuttgart, ich bin aus Ludwigsburg, da is es klar, dass wir des gleiche machen, weiß ja nich auf was für ner GoSu-Schule Abraxas is ^^

Hostagetaker

Fortgeschrittener

Beiträge: 570

Wohnort: München

Beruf: GER

  • Nachricht senden

18

18.10.2004, 17:15

ich hab Ableitungsregeln mit produkt und co alles mitte der 11ten gemacht

wie abraxas^^

€dit: herby du hast den Nagel auf den Kopf getroffen :D
me2 Bayer

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »Hostagetaker« (18.10.2004, 17:16)

myabba|abra

Erleuchteter

Beiträge: 4 305

Wohnort: Regensburg

Beruf: GER

  • Nachricht senden

19

18.10.2004, 17:58

jo, wohne in bayern :)

10.klasse: trigonometrische funkionen
11.klasse: ableitung dieser
12.klasse: integrale

und die frage hört sich verdammt nach ner 10. klasse aufgabe an^^

edit: möglich das da was mit ableitungen mit reinpfuscht, hab mir die aufgabe ned angeschaut :)

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »abraXas« (18.10.2004, 18:00)

-=)GWC(RaMsEs

unregistriert

20

18.10.2004, 20:30

sollte nicht der lehrstoff in den bedien ländern besonders in mathe angenähert werden?
weiss noch genau als ich mathe abi geschrieben habe ( 99) hatten die bawü leute ein an unseres angelehntes ( vom schwierigkeitsgrad her).
das viel auch katastrophal aus bei den bawü kameraden ( ist ja auch klar, in bayern wird dir kontinuierlich dieses niveau langsam nähergebracht, in bawü kam das ruck zuck damals).
aber das es immer noch so unterschiede gibt hätt ich net gedacht :(