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Mathe: Trigonalisierung einer Matrix

[pG]fire_de

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1

26.07.2006, 22:31

Mathe: Trigonalisierung einer Matrix

Hi, gibt es ne einfache Methode ne 2x2 Matrix zu trigonalisieren?

daPhoenix

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2

26.07.2006, 22:51

Für allgemeine Matrizen kenn ich nur Jordan Normalform. Aber die kennste höchstwahrscheinlich auch... die ist hässlich. Jedoch bei 2*2 sollte es gerade noch gehen.

GEC|Bats

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3

26.07.2006, 22:51

Hm, sowas hatten wir in der Numerik die letzten 2 Semester.
Da gibts mehrere Verfahren, z.b. Givens-Rotationen, Householdertransformation, glaub Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren geht auch..

Givens-Rotation bei ner 2x2-Matrix geht so (wenn ich mich nich irre):

(a11, a12) = A ist gegeben. Dann: R := ( y, z)
(a21, a22) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (-z, y)

mit y = a22 / sqrt(a22²+a12²) und z = a12 / sqrt(a22²+a12²), so dass

R * A = ( * , * ), also trigonalisiert.
. . . . . . ( 0 , * )

[pG]Sunzi

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4

27.07.2006, 20:41

Naja gut, bestimm nen Eigenvektor, dann nimm nen Vektor ausm Komplement vom Span des Eigenvektors. Das is Transformationmatrix.

WW_Asmodean

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5

28.07.2006, 08:30

Streeeebaaa :P

IASON

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6

28.07.2006, 08:43

Ich fühl mich immer ziemlich doof, wenn ich die Mathe-Threads lese...

GEC|Bats

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7

28.07.2006, 10:12

also den letzten satz von sunzi kapier ich grad auch nich ^^
was ich geschrieben hab, is halt mathestudium 3. semester..

btw. fire hat dir des jetz was geholfen und für was brauchst des?

[pG]Sunzi

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8

28.07.2006, 10:58

Naja wenn du nen Eigenevktor nimmst, zu ner Basis ergänzt und dann des als Transformationsmatrix T nimmst hat bei ner 2x2
S:=T^{-1}AT Trigonalgestalt. Is auch irgendwo klar, ich mein, was passiert denn:
Sei v dein Eigenvektor zum Eigenwert i, dann geht das so:
Se_1=T^{-1}AT(e_1)=T^{-1}A(v)=T^{-1}iv=tT^{-1}v=ie_1
Dann muss S bei ner 2x2 schon trigonal sein.

Zitat

Streeeebaaa

Des war klar, dass von dir irgendwas kommen muss! FU :D

[pG]fire_de

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9

28.07.2006, 11:07

bats, hatte gestern mathe klausur (Lineare Optimierung für WiWi)

Hab die Aufgabe am Ende einfach weggelassen. Wir hatten übrigens diese Anleitung bekommen: http://statistik.mathematik.uni-wuerzbur…nalisierung.pdf

[pG]Sunzi

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10

28.07.2006, 11:16

Is des was ich gesagt hab, nur bei ner größeren Matrix wird des ganze natürlich immer aufwendiger; wenn dann net gad die Transfomrationsmatrix selbst verlangt wird, lohnts sicher immer Jordannormalform zu machen; die kann man meist ziemlich leicht bestimmen und außer char.Poly. kannst auch noch Minimalpolynom und die Dimensionen der Eigenräume ablesen.

Aber bei der 2x2 geht des eh ganz fix. Welche Semester bist denn nochma fire?