Mathefrage: Wachstum

Smoerrebroed

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1

Sunday, January 2nd 2011, 12:47pm

Mein Studium ist schon 22 Jahre her und in meinem Job habe ich mit Mathe nicht mehr allzuviel zu tun, bzw. wenn ichs brauche habe ich Programme^^. Meine Lütte hat jetzt Probleme bei einer Aufgabe:

Es geht um Aufgabe 5.

Ein wenig Anschub (Danke noch einmal) habe ich ja schon bekommen, bräuchte jedoch noch ein wenig Feedback:

1.) Ganzrationale Funktionen gehen für x gegen unendlich auch immer gegen +/- unendlich. Ich würde mir also zur Berechnung der Koeffizienten einfach einen Stützpunkt (sagen wir mal -100,0) dazunehmen, da ich ja davon ausgehen kann, dass die Pflanze irgendwann mal "nicht da" war?

Begründung, warum die Funktion nicht den gesamtem Wachstumsprozess beschreiben kann: Aus dem Bauch heraus würde ich mal sagen, dass eine e-Funktion einen geringere Abweichung ergeben würde, da diese ja genau den Prozess beschreibt, doch das ist ja keine Begründung!?

Für Tips wäre ich sehr dankbar.

*** Alles unter 400 Gramm ist Carpaccio ***

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_Icedragon_

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2

Sunday, January 2nd 2011, 1:55pm

geht es hier um pflanzenwachstum? ich kenne mich nicht mit biologie aus, aber ich denke mal, dass es wie eine ameisenpopulation funktioniert, (stattdessen mit Zellen) d.h.

aus 2 ameisen entstehen 4, aus 4 entstehen 8, aus 8 entstehen 16 usw.

diese umwandlung geschieht immer in gleichen Zeiträumen.

f(s) ist der Bestand zur Zeit s

d.h. wir suchen eine Funktion für die gilt:
f(s)*f(t) = f(s+t) (z.b. f(1) = 2 , f(2) = 4 -> f(1+2)=8)
man geht dann noch davon aus, das die Population am Anfang (f(0)) bei 1 liegt.

Aus diesen zwei Annahmen kann man folgern, dass dies nur für eine Exponentialfunktion gilt,

weil z.b. e^1*e^2 =e^3, für ganzrationale funktionen gilt das aber nicht, z.b. ist 2² *2² =2^4; =/ 4², also f(2)*f(2) =\ f(4)

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MfG_Stefan

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3

Sunday, January 2nd 2011, 1:59pm

Um die ganzrationale Funktion zu bestimmen brauchst du 4 Informationen.
Also f(0)=0,1 f(100)=1,27 f(200)=2. Die Aufgabenstellung verstehe ich so, dass ausgewachsen Maximum bedeutet, d.h. f'(200)=0.

Der Graph der Funktion wird hoffentlich so ähnlich ausschauen wie abgebildet, aber nach dem Maximum natürlich wieder abfallen. Was natürlich nicht mehr den Prozess beschreibt. (Die Blume wird ja bei 2 m bleiben)

Edit: Vielleicht noch die Werte in cm nehmen, um ne "schönere" Funktion zu erhalten. Richtig angenähert wird das Wachstum von diesem Graph nicht, (siehe Argumentation von Icedragon).

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nC_Flex

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4

Sunday, January 2nd 2011, 3:09pm

Die Aufgabe ist imho ne recht simple Standardaufgabe fürn Leistungskurs. Wie Stefan schon gesagt hat. Mit den vier Eigenschaften:

f(0)=10
f(100)=127
f(200)=200
f'(200)=0

eine Funktion aufstellen.

Bei der Begründung liegt Stefan meiner Meinung nach falsch:
In der Aufgabe geht es ja um den "Wachstumsprozess", der meiner Meinung nach bei den 2 Metern abgeschlossen sein sollte. Daher kann man damit nicht argumentieren.
Viel mehr sollte man sowas wie Tag/Nacht, also kleinere Schwankungen im Wachstum sowie verschiedene Vegetationsperioden berücksichtigen. Das müsste man dann über eine Sinus/Cosinusfunktion mit einbringen.
Im Sommer wächst die Blume bei ausreichender Versorgung mit Wasser auch deutlich schneller als z.B. im Frühjahr. Die erhaltene Gleichung kann also nur unter bestimmten abitotischen Faktoren gelten.

Brauchst du eigentlich bei allen Aufgaben Hilfe oder ging es nur um diese erste?

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Smoerrebroed

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5

Sunday, January 2nd 2011, 3:10pm

Quoted

d.h. f'(200)=0.

EDit: Hier stand Blödsinn

Quoted

Brauchst du eigentlich bei allen Aufgaben Hilfe oder ging es nur um diese erste?

Abwarten. Möchte der Lütten ja nicht alles vorkauen. Danke für die Hilfen bis jetzt.

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MfG_Stefan

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6

Sunday, January 2nd 2011, 3:36pm

Quoted

Original von nC_Flex
Bei der Begründung liegt Stefan meiner Meinung nach falsch:
In der Aufgabe geht es ja um den "Wachstumsprozess", der meiner Meinung nach bei den 2 Metern abgeschlossen sein sollte. Daher kann man damit nicht argumentieren.
Viel mehr sollte man sowas wie Tag/Nacht, also kleinere Schwankungen im Wachstum sowie verschiedene Vegetationsperioden berücksichtigen. Das müsste man dann über eine Sinus/Cosinusfunktion mit einbringen.
Im Sommer wächst die Blume bei ausreichender Versorgung mit Wasser auch deutlich schneller als z.B. im Frühjahr. Die erhaltene Gleichung kann also nur unter bestimmten abitotischen Faktoren gelten.

Die Begründung gefällt mir aber auch nicht. *g*
Imo ist der gegebene Graph, der das Wachstum genau genug annähert aus der später erwähnten Funktion h_r(t) entstanden.
Dass dieser Graph den Verlauf besser annähert, liegt imo an der Erklärung von Icedragon. Ich vermute dass Tag/Nacht Schwankungen gar nicht gemessen worden sind, sondern einfach jeden Tag zur gleichen Uhrzeit.

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AtroX_Worf

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7

Sunday, January 2nd 2011, 3:52pm

RE: Mathefrage: Wachstum

Quoted

Original von Smoerrebroed
1.) Ganzrationale Funktionen gehen für x gegen unendlich auch immer gegen +/- unendlich. Ich würde mir also zur Berechnung der Koeffizienten einfach einen Stützpunkt (sagen wir mal -100,0) dazunehmen, da ich ja davon ausgehen kann, dass die Pflanze irgendwann mal "nicht da" war?

Der erste Satz ist richtig, der zweite nicht. Man kann nicht einfach einen Stützpunkt "dazuerfinden".
Trivial sind 3 Punkte gegeben, allerdings bräuchte man 4 Angaben, um ein Polynom vom Grad 3 eindeutig zu bestimmen ("durch 2 Punkte geht eine Gerade, durch 3 eine Parabel..."). Durch die zusätzliche "Abbruchbedingung" ist die Aufgabe eigentlich eindeutig lösbar. Allerdings gilt wegen des ersten Satzes, dass man das Polynom "abschneiden" müsste, da ein Polynom (dritten Grades) immer gegen +/- unendlich geht und somit keinen Wachstumsprozess mit begrenztem Wachstum beschreiben kann.

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nC_Flex

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8

Sunday, January 2nd 2011, 4:15pm

Hmm das mit Tag/Nacht ist möglicherweise wirklich zu genau, dennoch solltest du meinen 2. Punkt beachten

Sowas wie ein 2 Tage hintereinander bedeckter Himmel wirkt sich auf das Wachstum aus. Deswegen nähert auch eine Expontentialfunktion das Wachstum nicht hinreichend genau an. Außerdem solltest du noch beachten, dass eine Pflanze zum Ende hin wieder langsamer wächst. Insofern ist eine Expontentialfunktion eine äußerst ungünstige Annäherung, weil sie keine Wendepunkt besitzt.

€: Natürlich nähert auch ein Polynom 3. Grades nicht solche Sachen wie 2 Tage bedeckter Himmel an. Insofern sollte das eine mögliche Antwort auf die Frage sein, warum der Wachstumsprozess nicht durch eine solche Funktion angenähert werden kann.

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AtroX_Worf

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9

Sunday, January 2nd 2011, 4:24pm

@Flex: Lies dir doch mal alle Aufgaben durch. Abhängig davon, was für einen Wachstumsprozess mal modellieren möchte (prinzipiell unbegrenzt oder begrenztes, S-förmiges Wachstum) eignet sich eine Exponentialfunktion gut oder weniger gut. Aber das ist ja nicht die Aufgabenstellung, vor allem nicht in den Aufgaben am Anfang.

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nC_Flex

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10

Sunday, January 2nd 2011, 4:35pm

Das eine Exponentialfunktion nicht geht war eine Antwort darauf, aber nicht auf die Aufgabe^^

Quoted

Original von MfG_Stefan

Quoted

Original von nC_Flex
Bei der Begründung liegt Stefan meiner Meinung nach falsch:
In der Aufgabe geht es ja um den "Wachstumsprozess", der meiner Meinung nach bei den 2 Metern abgeschlossen sein sollte. Daher kann man damit nicht argumentieren.
Viel mehr sollte man sowas wie Tag/Nacht, also kleinere Schwankungen im Wachstum sowie verschiedene Vegetationsperioden berücksichtigen. Das müsste man dann über eine Sinus/Cosinusfunktion mit einbringen.
Im Sommer wächst die Blume bei ausreichender Versorgung mit Wasser auch deutlich schneller als z.B. im Frühjahr. Die erhaltene Gleichung kann also nur unter bestimmten abitotischen Faktoren gelten.

Die Begründung gefällt mir aber auch nicht. *g*
Imo ist der gegebene Graph, der das Wachstum genau genug annähert aus der später erwähnten Funktion h_r(t) entstanden.
Dass dieser Graph den Verlauf besser annähert, liegt imo an der Erklärung von Icedragon. Ich vermute dass Tag/Nacht Schwankungen gar nicht gemessen worden sind, sondern einfach jeden Tag zur gleichen Uhrzeit.

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MfG_Stefan

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11

Sunday, January 2nd 2011, 4:44pm

Ok, dann mag es stimmen. Meine Kritik bezog sich nur auf die Argumentation bei dieser Aufgabe.

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Smoerrebroed

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12

Sunday, January 2nd 2011, 5:14pm

Die Funktion aus Abschnitt 1 ist erst einmal eindeutig bestimmt. Sicherlich ist sie, wie Worf schon sagte, nur in einem bestimmten Bereich gültig. Das kenne ich aus der Messtechnik aber auch nicht anders.

f(0)=10
f(100)=127
f(200)=200
f'(200)=0

Sollte richtig sein.

Quoted

f(s) ist der Bestand zur Zeit s

d.h. wir suchen eine Funktion für die gilt:
f(s)*f(t) = f(s+t) (z.b. f(1) = 2 , f(2) = 4 -> f(1+2)=8)
man geht dann noch davon aus, das die Population am Anfang (f(0)) bei 1 liegt.

Aus diesen zwei Annahmen kann man folgern, dass dies nur für eine Exponentialfunktion gilt,

weil z.b. e^1*e^2 =e^3, für ganzrationale funktionen gilt das aber nicht, z.b. ist 2² *2² =2^4; =/ 4², also f(2)*f(2) =\ f(4)

Das sollte hinreichend den zweiten Teil der ersten Aufgabe berücksichtigen. Beschreibung des Einflusses Tag/Nacht oder Erdbeben in Timbuktu sind wohl nicht Thema eines LK.

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nC_Flex

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13

Sunday, January 2nd 2011, 8:27pm

Quoted

Original von nC_Flex
Außerdem solltest du noch beachten, dass eine Pflanze zum Ende hin wieder langsamer wächst. Insofern ist eine Expontentialfunktion eine äußerst ungünstige Annäherung, weil sie keine Wendepunkt besitzt.

Eigenquote

Solltest du aber berücksichtigen!
Wenn überhaupt gilt die Exponentialfunktion nur bis zur Hälfte.

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_Icedragon_

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14

Sunday, January 2nd 2011, 8:29pm

Quoted

Original von nC_Flex
Hmm das mit Tag/Nacht ist möglicherweise wirklich zu genau, dennoch solltest du meinen 2. Punkt beachten

Sowas wie ein 2 Tage hintereinander bedeckter Himmel wirkt sich auf das Wachstum aus. Deswegen nähert auch eine Expontentialfunktion das Wachstum nicht hinreichend genau an. Außerdem solltest du noch beachten, dass eine Pflanze zum Ende hin wieder langsamer wächst. Insofern ist eine Expontentialfunktion eine äußerst ungünstige Annäherung, weil sie keine Wendepunkt besitzt.

€: Natürlich nähert auch ein Polynom 3. Grades nicht solche Sachen wie 2 Tage bedeckter Himmel an. Insofern sollte das eine mögliche Antwort auf die Frage sein, warum der Wachstumsprozess nicht durch eine solche Funktion angenähert werden kann.

Du kannst aber eine Verkettung von Exponentialfunktionen nehmen mit e^(ax) und e^(bx)(z.b. mit - oder b < 0,etc.). Damit gibt es dann auch einen Wendepunkt mit Exponentialfunktionen und auch ein Maximum. Das ist sicherlich die empirisch exakteste Methode.
Mit sin, cos kannst du tag und nacht beschreiben, das es bestimmte abweichung wegen des wetters gibt ist ja klar, die kann man nie genau vorhersagen, du kannst dann höchstens die varianz von diesem exakten graphen berechnen.

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AtroX_Worf

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15

Sunday, January 2nd 2011, 8:42pm

Quoted

Original von _Icedragon_
...Das ist sicherlich die empirisch exakteste Methode. ...

Wie kommst du auf diese Aussage, versteh ich irgendwie nicht.

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Smoerrebroed

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16

Sunday, January 2nd 2011, 9:28pm

Aufgabe 2:

Quoted

Berechnen Sie einen zuverlässigen Wert für r und den Depressionsfaktor d . Zeichen Sie für dieses r die Graphen der Funktionen hr und f in ein geeignetes Koordinatensystem ein.

Schon mal im Vorgriff^^:

Kann mit dem Begriff "t in d" nichts anfangen

Quoted

Zeichen Sie für dieses r die Graphen der Funktionen hr und f in ein geeignetes Koordinatensystem ein.

Was ist hier mit f gemeint? Wenn ich ein "r" ermittelt habe, kann ich doch nur eine Funktion darstellen - nicht mehrere.

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_Icedragon_

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17

Sunday, January 2nd 2011, 11:58pm

Quoted

Original von AtroX_Worf

Quoted

Original von _Icedragon_
...Das ist sicherlich die empirisch exakteste Methode. ...

Wie kommst du auf diese Aussage, versteh ich irgendwie nicht.

ich meinte damit, dass man Wachstumsprozesse logischerweise besser mit Exponentialfunktionen als mit ganzrationalen Funktionen beschreibt. "Empirisch exakt" ist hier auf jeden Fall der falsche Ausdruck. Danke für den Hinweis.

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MfG_Stefan

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18

Monday, January 3rd 2011, 10:48am

Quoted

Original von Smoerrebroed

Was ist hier mit f gemeint? Wenn ich ein "r" ermittelt habe, kann ich doch nur eine Funktion darstellen - nicht mehrere.

f ist die ganzrationale Funktion von oben, für r komm ich auf das weiter unten angegebene r=0,035

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Smoerrebroed

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19

Monday, January 3rd 2011, 8:06pm

Quoted

f ist die ganzrationale Funktion von oben

Arghh - na klar!

"t in d" nehme ich mal an den Graphen in Tagen darzustellen^^

Danke noch einmal Allen hier. Thread bitte löschen - möchte wenig Spuren hinterlassen.

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Smoerrebroed

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20

Wednesday, January 5th 2011, 7:43pm

Bräuchte noch einmal Hilfe bei Aufgabe 3: Radioaktiver Zerfall:

Teil 2: Immer Maximum? Wie kann ich das mathematisch nachweisen?
Teil 3: Weil der Kram schneller zerfällt, als ich ihn "produziere", nur wie fasse ich das in eine Formel?

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_Icedragon_

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21

Wednesday, January 5th 2011, 8:35pm

wenn du die aufgaben auch posten würdest, könnte ich dir helfen^^

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Smoerrebroed

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22

Wednesday, January 5th 2011, 8:41pm

Link im ersten Beitrag

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_Icedragon_

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23

Wednesday, January 5th 2011, 9:10pm

ach ja hätte ich das früher gewusst, dann hätte ich dir schon in der ersten aufgabe helfen können.

zur 2: Maximum berechnet man anhand ableitung und dann gleich null setzen. trick ist dabei zu logarithmieren. lsg. ist dann es gibt nicht immer max, weil t nicht immer positiv ist, nur wenn k2 > k1
zum beweis des max. 2. ableitung < 0

zur 3: wie du an der kurve siehst, geht sie gegen null. also N2 nehmen und t gegen unendlich laufen lassen.
bin grad zu müde um mehr zu schreiben, ich hoffe das reicht.

krass dass sie dafür 6 h zeit haben...

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AtroX_Worf

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24

Wednesday, January 5th 2011, 9:54pm

zu 2: weil exp(-k*t) für t gegen unendlich und k>0 monoton fallend ist (es reicht auch schon, dass es gegen 0 geht oder irgendwas, hauptsache nicht unendlich) und die Funktion nach links abgeschlossen ist (und N(0)=100) hat sie ein Maximum.

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Smoerrebroed

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25

Thursday, January 6th 2011, 7:37pm

Nochmal zu der Sonnenblume:

h(t)=2e^(rt)/(e^rt+19) Nach Quotientenregel ->
h'(t)=2re^rt *(e^rt + 19) - 2e^rt * re^rt / (re^rt + 19)^2

wie kann ich das jetzt brauchbar zusammenkürzen bzw. wie lautet f'' ?

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kOa_Master

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26

Thursday, January 6th 2011, 8:08pm

falls du h''(t) meinst, der TR sagt:
-38*(e^rt)*((e^rt)-19)*r^2 / (((e^rt)+19)^3)

leider weiss ich nicht genau wie deine ursprüngliche formle h(t) aussehen soll, das ist kacke dargestellt