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Gegenbeispiel!

Mal ne Frage....was sind die x_i und y_i?

Hum, sieht doch relativ einfach aus?

Eindimensionaler Fall mit x=(0), y=(4), z=(2)

d(x,y)=16
d(x,z)=4
d(z,y)=4

d(x,y)>d(x,z)+d(z,y)

jo ein gegenbeispiel reicht, siehe plexiq.

gehts da nicht einfach um betrag der summe <= summe der beträge?

@Michi:
Eh, ja - im eindimensionalen Fall schon. Das Distanzmaß ist für Vektoren mit beliebiger Dimension definiert, deshalb die indices.

In diesem Beispiel lässt sich im eindimensionalen Raum ein Gegenbeispiel finden. Wenn das nicht der Fall wäre müsstest du dir die höheren Dimensionen ansehen.

ich kopier dir mal den auszug aus unserem operations research skript falls dir das hilft:

Die Dreiecksungleichung ist eine bahnbrechende Erkenntnis der Mathematiker, in der sie folgenden Sachverhalt beschreiben: Satz (Dreiecksungleichung): Der Flächeninhalt zweier Dreiecke ist immer kleiner oder gleich der Summe der Flächen beider Dreiecke. Dies mag auf den ersten Blick trivial erscheinen, jedoch findet folgendes Lemma sogar Anwendung in der realen Welt:

Korollar (Effizienzkorollar): Die Effizienz von Teamarbeit ist immer kleiner oder gleich der Effizienz von Einzelarbeit.

Beweis: Formuliere das Hilfslemma (Schnelligkeitslemma): Die Schnelligkeit zweier Personen ist immer kleiner oder gleich der Summe der Schnelligkeiten der Einzelpersonen. und folgere mit obigem Effektivitätslemma und einer trivialen Induktion das Effizienzkorollar. q.e.d.

Ein Versuch der Teamfähigkeitsfanatiker, dieses Effizienzkorollar zu widerlegen, schlug fehl. Sie wählten folgenden Ansatz:

Langsamkeitslemma: Die Langsamkeit zweier Personen ist immer kleiner oder gleich der Summe der Langsamkeiten der Einzelpersonen.

Dieses Langsamkeitslemma kann jedoch ganz einfach widerlegt werden: Langsamkeit ist negative Schnelligkeit und nach Vorzeichenveränderung ergibt sich ein Widerspruch zum Schnelligkeitslemma und da dieses zuerst da war, ist es korrekt und das Langsamkeitslemma falsch. Somit behält die Dreiecksungleichung und die direkt aus ihr folgenden Lemmas und Korollare immer noch Gültigkeit.