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Statistikfrage

]I[Michi

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1

Sunday, August 22nd 2010, 2:34am

Statistikfrage

Habe eine kleine Frage an die Mathecracks:

continous random variable:
f(x)= Ce^(-x^2) für x>0
0 für x<=0

ich muss den median, mode und constant C finden.

Ich bin so vorgegangen:
Um C zu finden habe ich normalisiert also:
C*Int(x,unendlich)e^(-x^2)
dann komm ich auf C*1/2=1 also C=2

soweit müsste es sicher stimmen, oder irre ich mich grundlegend?

Nächster schritt, um den mode zu finden muss ich doch die erste Ableitung von f(x) Null setzen und schon habe ich sie also:

f(x)=2*e^(-x^2)
fi(x)=(2-(4x^2))*e^(-x^2)

nach x aufgelöst kriege ich +- Wurzel auf 2/2, da das Ergebnis über 0 sein muss ist es also 2^(1/2)/2.

Leider kommt mir das Ergebnis ziemlich komisch vor, normalerweise kommen immer reele Zahlen raus. Habe ich einen Fehler gemacht?

This post has been edited 1 times, last edit by "]I[Michi" (Aug 22nd 2010, 2:34am)

AtroX_Worf

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2

Sunday, August 22nd 2010, 4:01am

RE: Statistikfrage

Quoted

Original von ]I[Michi
Habe eine kleine Frage an die Mathecracks:

continous random variable:
f(x)= Ce^(-x^2) für x>0
0 für x<=0

ich muss den median, mode und constant C finden.

Ich bin so vorgegangen:
Um C zu finden habe ich normalisiert also:
C*Int(x,unendlich)e^(-x^2)
dann komm ich auf C*1/2=1 also C=2

soweit müsste es sicher stimmen, oder irre ich mich grundlegend?

Da ist es schon falsch, da

ist.

This post has been edited 2 times, last edit by "AtroX_Worf" (Aug 22nd 2010, 4:12am)

]I[Michi

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3

Sunday, August 22nd 2010, 12:15pm

oh sorry, ich habe mich beim eintippen vom Zettel aus vertan, die Aufgabe ist natürlich:

x*(e^(x^2))

dann folgt der Integral:
[IMG]http://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_{0}^{\infty%20}~xe^{-x^2}~dx%20=%20\left[-\frac{1}{2}%20e^{-x^2}\right]_{0}^{\infty}=-\frac{1}{2}%20[\lim_{x%20\to%20\infty}%20e^{-x^2}%20-%20e^{-0^2}]%20=%20-\frac{1}{2}%20[0-1]%20=%20\frac{1}{2}[/IMG]

So komme ich auf die 2 für C.

[AA]Hawk

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4

Sunday, August 22nd 2010, 12:19pm

Douglas Adams würde schreiben:

1/2 ist durch einen verblüffenden Zufall auch der Anteil der Mathethemen im Mastersforum, bei denen die Aufgabenstellung falsch gepostet wird

AtroX_Worf

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5

Sunday, August 22nd 2010, 12:54pm

RE: Statistikfrage

Quoted

Original von ]I[Michi
f(x)=2*e^(-x^2)
fi(x)=(2-(4x^2))*e^(-x^2)

nach x aufgelöst kriege ich +- Wurzel auf 2/2, da das Ergebnis über 0 sein muss ist es also 2^(1/2)/2.

Leider kommt mir das Ergebnis ziemlich komisch vor, normalerweise kommen immer reele Zahlen raus. Habe ich einen Fehler gemacht?

Die Dichte ist
[IMG]http://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\rho\!\left(x\right)=2x\exp\!\left(-x^{2}\right)\mathbf{1}_{\left\{x>0\right\}}[/IMG].

Den Modus bekommst du dann mittels
[IMG]http://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!x}\rho\!\left(x\right)=2x\exp\!\left(-x^{2}\right)\mathbf{1}_{\left\{x>0\right\}}=-2\exp\!\left(-x^{2}\right)\left(2x^{2}-1\right)\mathbf{1}_{\left\{x>0\right\}}\overset{!}{=}0\implies x_{\text{modus}}=\frac{1}{\sqrt{2}}[/IMG].

Das ist doch so schön, wie man es sich nur wünschen kann.
Der Median ist
[IMG]http://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_{0}^{x}\rho\!\left(u\right)\operatorname{d}\!u=1-\exp\!\left(-x^{2}\right)\mathbf{1}_{\left\{x>0\right\}}\implies 1-\exp\!\left(-x_{\text{median}}^{2}\right)\mathbf{1}_{\left\{x>0\right\}}\overset{!}{=}\frac{1}{2}\iff x_{\text{median}}^{2}=\ln\!\left(2\right)\iff x_{\text{median}}=\sqrt{\ln\!\left(2\right)}[/IMG].

€dit:

Quoted

Original von [AA]Hawk
Douglas Adams würde schreiben:

1/2 ist durch einen verblüffenden Zufall auch der Anteil der Mathethemen im Mastersforum, bei denen die Aufgabenstellung falsch gepostet wird

:D :D :D

This post has been edited 7 times, last edit by "AtroX_Worf" (Aug 22nd 2010, 4:27pm)

]I[Michi

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Sunday, August 22nd 2010, 2:15pm

Vielen Dank! Jetzt kann ich es nachvollziehen ;)

MfG_Stefan

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Sunday, August 22nd 2010, 4:07pm

ich nicht ^^
wie kommt man von der Ableitung auf x_modus?

AtroX_Worf

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8

Sunday, August 22nd 2010, 4:29pm

Quoted

Original von MfG_Stefan
ich nicht ^^
wie kommt man von der Ableitung auf x_modus?

Es muss 1/sqrt(2) sein, d.h. 1/2 * sqrt(2) und nicht 1/2 * sqrt(pi), hatte da durch copy & paste vom ersten Integral noch was falsches stehen.

MfG_Stefan

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9

Sunday, August 22nd 2010, 4:52pm

ok, danke

]I[Michi

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10

Tuesday, August 24th 2010, 5:12pm

Nach einer weiteren Stunde an Statistikaufgaben bin ich wieder etwas unsicher:

Frage lautet: Die durchschnittliche Anzahl fauler Äpfel an einem Baum beträgt 27. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Baum weniger als 10 faule Äpfel hängen.

Wie kann ich das berechnen ohne die Varianz zu kennen? Irgendwie fehlt mir die Formel dafür.

Ich habe es mit Poisson versucht, dort bekomme ich aber ziemlich komische Ergebnisse, kann also nicht stimmen, oder?

AtroX_Worf

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11

Tuesday, August 24th 2010, 5:27pm

Ohne Verteilungsannahme oder Varianz (Stichwort Chebyshev Ungleichung) geht es tatsächlich nicht, man braucht irgendsowas wie Streuung, fast sichere Beschränktheit, Martingal etc. Oder ist noch was anderes gegeben bzw. hattet ihr die Bernstein oder Hoeffding-Ungleichung in der Vorlesung?
Ich schätze mal, es läuft irgendwie auf die Chernoff-Ungleichung hinaus (oder auf Chebyshev).

Die Anzahl der faulen Äpfel soll sicherlich binomialverteilt sein. Allerdings braucht man dann trotzdem noch die Anzahl der Äpfel auf einem Baum (oder man schaut man, wie schnell die Werte abfallen und ob es einen praktischen Unterschied bei sinnvollen Äpfelanzahlen macht... je ncahdem, wie rein ihr mathematische Statistik habt).

Schau dir mal Chernoff an und sag, obs in diese Richtung gehen könnte. Aber davor solltest du nochmal die Aufgabe im Kontext der vorherigen anschauen, ob du wirklich alles hingeschrieben hast. ^^

This post has been edited 1 times, last edit by "AtroX_Worf" (Aug 24th 2010, 5:28pm)

]I[Michi

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12

Tuesday, August 24th 2010, 9:00pm

Habe die Lösung:
Es war doch Poisson, nur der elektronische taschenrechner kam mit den großen Zahlen nicht klar:

P(0)+P(1)+...+P(9)= 27^0/0! exp(-27) +27^1/1! exp(-27) +... +27^9/9!
exp(-27) =
exp(-27)*[ 27^0/0!+ 27^1/1!+...+ 27^9/9!]= 0,00578%

]I[Michi

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13

Tuesday, August 31st 2010, 12:29am

You have performed a Durbin - Watson test and the d statistic is 0. 08. Would you use the
F (or t in the one-dimensional case) distribution to assess the usefulness of the linear
regression model in this case? Explain.

Kann mir jemand helfen?

Kleine d Werte zeigen an, dass die Error terms schnell aufeinanderfolgen, also würde ich deshalb keinen test mehr machen, weil klar ist, dass nur 8% der Regression erklärt werden können und es deshalb nicht useful ist?

AtroX_Worf

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14

Tuesday, August 31st 2010, 12:48am

d-values um 0 sind ein Zeichen für eine hohe Autokorrelation. Damit würde ein F-test (oder auch t-test) verzerrt. Es ist deswegen nicht sinnvoll, sie durchzuführen, da die notwenidgen Annahmen an die Residuen nicht erfüllt sind.

Kurze Anmerkung zur Aufgabenstellung: Man kann mit einem F- bzw. t-test nicht die Nützlichkeit der linearen Regression selbst bestimmen, sondern nur, welche von 2 Parametrisierungen die besssere ist bzw. ob einzelne Faktoren signifikant sind. Man kann höchstens implizit zu einer trivialen Parametrisierung testen.

]I[Michi

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15

Thursday, September 2nd 2010, 1:28am

Ne kleine Mathefrage:

Für welche Werte für a, divergiert Int(0,unendlich)(x^(-a)

Es divergiert nur für den Wert 1, weil dann der Grenzwert unbestimmt ist, für alle anderen Werte ist der Grenzwert bestimmt.

Ist das wirklich so simpel oder habe ich was übersehen?

nC_Des

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16

Thursday, September 2nd 2010, 11:49am

Wenn überhaupt dann würde ich sagen konvergiert es nur für den Wert 1.

Erg_Raider

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17

Thursday, September 2nd 2010, 11:59am

Quoted

Original von ]I[Michi
Ne kleine Mathefrage:

Für welche Werte für a, divergiert Int(0,unendlich)(x^(-a)

Es divergiert nur für den Wert 1, weil dann der Grenzwert unbestimmt ist, für alle anderen Werte ist der Grenzwert bestimmt.

Ist das wirklich so simpel oder habe ich was übersehen?

divergiert für alle a<=1

@des: nein

edit: mir fällt grad auf, dass die untere grenze von 0 für jedes a probleme macht, nimmt man diese inegrale nicht immer von [1, unendlich] ? ....

This post has been edited 1 times, last edit by "Erg_Raider" (Sep 2nd 2010, 12:02pm)

nC_Flex

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18

Thursday, September 2nd 2010, 12:07pm

Bei solchen Funktionen(x^(-a)) rechnet man soviel ich weiß:
Int(0,unendlich)= 2*Int(1,unendlich)+1

Erg_Raider

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19

Thursday, September 2nd 2010, 12:24pm

Quoted

Original von nC_Flex
Bei solchen Funktionen(x^(-a)) rechnet man soviel ich weiß:
Int(0,unendlich)= 2*Int(1,unendlich)+1

richtig da war irgendwas, ist bei dann doch schon paar jährchen her^^

]I[Michi

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20

Thursday, September 2nd 2010, 2:11pm

danke! jetzt habe ichs verstanden!

]I[Michi

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21

Thursday, September 2nd 2010, 3:56pm

Und was mache ich wenn das Intergral von (0,1) geht?

z.B. Int(0,1)dx/(1-x)^(1/3)
wenn ich das integral auflöse kommt 3/2 heraus, also ist das limit für jeden wert für x auser für 1 existent, deshalb konvergiert er für alle Werte?

]I[Michi

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22

Sunday, September 5th 2010, 9:14pm

noch eine Frage:

Let x1(t) and x2(t) be two particular solutions of an ODE with a separable right hand
side. Is it possible that x1(t1)=x2(t1) for some t1? Explain.

Leider verstehe ich nicht was genau gefragt ist, intuitiv würde ich sagen natürlich nicht, weil x1 und x2 ja nicht gleich sein können?