MastersForum

Ich denke Landwirt und Master haben das notwendige dazu gesagt.

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Original von Zecher_Falcon__
pitt hat im prinzip alles gesagt, es ist einfach nur aufschreibefehler.
Desweiteren ist dann 1/3 oder 1/2 als Lösung korrekt, es kommt halt auf die Begründung an. (Selbst du Worf hast in dem Thread schon nen ähnlichen Link dazu gepostet, http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand's_…x_(probability))

Bertrands Paradox hat nichts damit zu tun. Und es nicht nicht einmal 1/2 oder 1/3, wenn man den Informationsstand nicht ändert. Die Lösungen 1/2 und 1/3 gehören zu 2 unterschiedlichen Fragen.

Letztlich bedeutet Wahrscheinlichkeit in der Realität oft, dass für einen als Beobachter etwas stochastisch erscheint, weil man nicht genug weiß um den Determinismus dahinter zu erkennen. Was und wieviel zufällig ist, hängt also vom Informationsstand ab.

Wenn jemand eine Münze wirft, mag das Ergebnis für den Beobachtern zufällig erscheinen. Könnte man jedoch sehr genau Luftdruck, Drall etc. messen, dann wäre der Münzwurf nicht mehr als zufällig anzusehen.

Wenn ich die spezielle Familie noch nicht kenne, dann macht es Sinn eine Wahrscheinlichkeit für die Verteilung der Geschlechtergeburstagswochentage anzugeben.

@Landwirt: Erklär nochmal, wieso dies jetzt einen Unterschied machen soll. Du meinst wegen den Feinheiten in Boy or Girl paradox?!

Wir könnten dies ja mal ausführlicher beleuchten, wenn da Interesse besteht.

Ich poste nochmal eine ausführlichere Lösung, da es einige noch nicht (komplett) verstanden zu haben scheinen.

Ich schreibe es mal mathematisch abstrakt hin, da ich denke, dass es dadurch an Klarheit gewinnt.

Sei S:={m,w} die Ausprägung Geschlecht und W:={1,...,n} die möglichen Ausprägungen einer anderen Eigenschaft, bspw. Wochentag mit n=7.

Definiere den Raum der Geschlechterwochentage G=SxW, d.h. als Kartesisches Produkt der beiden gerade definierten Mengen. Ein Element g aus G sieht folgendermaßen aus: g=(x,y) mit x aus S und y aus W. Mögliche Elemente von G sind also die Paare (m,1), (m,5), (w,2) oder (w,7).
Es gibt insgesamt |G| = |S|*|W| = 2*n mögliche Kombinationen.

Definiere den Raum der Kindespaare mit K Teilmenge aus GxG genau so, dass (g1, g2) = (g2, g1) für g1, g2 jeweils aus G ist, d.h. ((m,1), (w,7)) = ((w,7), (m,1)).

Wie viele Elemente hat der Raum der Kindespaare K? Es sind genau (|G|+|S|-1 über |S|) = (2*n-1 über 2) Elemente, da man aus |G| Elementen jeweils 2 mit zurücklegen, aber ohne Beachtung der Reihenfolge, auswählt.

Betrachte das Wahrscheinlichkeitsmaß P, welches auf dem Raum der Kindespaare wie folgt definiert ist:

P(K=k) = 1/(|G|+|S|-1 über |S|) = 1/(2n-1 über 2)

Setze abkürzend p:=(2n-1 über 2).

Definiere jetzt die folgenden beiden Ereignisse als Teilmengen (der Potenzmenge von) K:

A := {(g1, g2) | mind. eines der Tupel g1 oder g2 ist (m,1)}
Dies ist die Menge aller Ereignisse, so dass mind. eines der Kinder des Kinderpaares männlich ist und an dem ausgezeichneten Tag Geburstag hat (man kann die Reihenfolge der Elemente in W verändern bzw. 1 durch eine andere Zahl ersetzen).

B := {(g1, g2) | g1 und g2 sind aus {m}xW}
Dies ist die Menge aller Ereignisse, so dass beide Kinder männlich sind.

Gesucht ist
P[B|A] = P[B geschnitten A]/P[A] = (|A geschnitten B|/p)/(|A|/p) = |A geschnitten B|/|A|

Jetzt gilt es nur noch, die Anzahl der Elemente in A bzw. "A geschnitten B" zu bestimmen, da diese die Einzelwahrscheinlichkeiten und damit auch die Gesamtwahrscheinlichkeit festlegt.

Für Elemente in A gibt es 2 Möglichkeiten:
((m,1)), y) aus (m,1)x(SxW)
und
(x, (m,1)) aus (SxW)x(m,1)
Die erste Möglichkeit hat 1*|SxW| Elemente, die zweite Möglichkeit nur noch 1*|SxW|-1 Elemente, weil das Element ((m,1), (m,1)) schon bei Möglichkeit 1 mitgezählt wurde.
Insgesamt gilt |A| = 2*|SxW|-1 = 4n-1.

Für Elemente in "A geschnitten B" gibt es auch wiederum 2 Möglichkeiten:
((m,1)), y) aus (m,1)x({m}xW)
und
(x, (m,1)) aus ({m}xW)x(m,1)
Analog zu gerade hat Möglichkeit 1 genau |W| Elemente und Möglichkeit 2 ein Element weniger, da ((m,1), (m,1)) schon gezählt wurde.
Insgesamt gilt |A geschnitten B| = 2*|W|-1 = 2n-1

Für die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder männlich sind (Ereignis B), bedingt darauf, dass mind. eines der Kinder männlich und mit Eigenschaft 1 ist (Ereignis A), gilt dann

P[B|A] = P[B geschnitten A]/P[A] = (|A geschnitten B|/p)/(|A|/p) = |A geschnitten B|/|A| = (2n-1)/(4n-1)

Angenommen W:={Di,Mo,Mi,Do,Fr,Sa,So} und n=7, dann erhalten wir mit gerade hergeleiteter Formel:

P[B|A] = (2*7-1)/(4*7-1) = 13/27

Würden wir nicht auf den Wochentag, sondern auf den Monatstag konditionieren, d.h. hätten wir W:={1,...,30}, dann würde gelten:

P[B|A] = (2*30-1)/(4*30-1) = 59/119 > 13/27

Je feiner wir konditionieren, desto mehr nähert sich unser Ergebnis 1/2 an.

Es ist zu beachten, dass wir uns nicht auf einem trivialen Wahrscheinlichkeitsraum bewegt haben. Man könnte natürlich auch den zugrundeliegenden Raum anders definieren, nur wird dann das zu verwendente Wahrscheinlichkeitsmaß komplizierter. Am Ergebnis ändert dies natürlich nichts. Deswegen war der Verweis auf Bertrand's Paradoxon nicht ganz richtig, weil dort die Auflösung darin besteht, dass man den realen Sachverhalt uneindeutig mathematisch modellieren kann und dann auf verschiedenen Wahrscheinlichkeitsräumen mit verschiedenen Wahrscheinlichkeitsmaßen unterschiedliche Ergebnisse erhält. Hier hingegen ist die Modellierung nicht wirklich uneindeutig.
Das konterintuitve ist, dass wir uns mit den vorliegenden extra-Informationen nicht auf dem Standard-Wahrscheinlichkeitsraum der Geschwisterpaare bzgl. Geschlecht befinden, sondern auf dem Raum der Geschlechts-Wochentags-Kombinationen, wenn man so will. Auch da kann man die konditionale Wahrscheinlichkeit berechnen, dass bei den Vorabinformationen A beide Kinder männlich sind (B), aber dies ist eben nicht mehr 1/2 sondern kleiner, nämlich (2n-1)/(4n-1).

Man könnte die Lösung auch nochmal gegenständlicher näher am Ausgangsproblem erklären, oder auf die Feinheiten zwischen Sprache und Wahrscheinlichkeit eingehen, wie es Landwirt angeregt hatte. Bei Bedarf kann ich dazu auch noch etwas schreiben.

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Original von OLV_sid_meier

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Original von AtroX_Worf
Ich poste nochmal eine ausführlichere Lösung, da es einige noch nicht (komplett) verstanden zu haben scheinen.

Ich schreibe es mal mathematisch abstrakt hin, da ich denke, dass es dadurch an Klarheit gewinnt.

ohne scheiss, meinst du das ernst ?

Jo ^^

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Original von mymF.frantic
wäre für mich verständlicher wenn du es nochmal fix teXen und dann als pdf/bild posten könntest.

Ich hab mal schnell was geschrieben:

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Original von kOa_Borgg
ich verstehe immernochnicht, warum zwischen zwei unabhängigen ereignissen eine relation bestehen soll worf.

Weil du einen Wahrscheinlichkeitsraum betrachten musst, der als Elemente Kombinationen aus Geschlecht und Geburtswochentag hat - sonst kannst du nicht alle gegebenen Informationen verarbeiten.

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Original von Snaile
Alter was. Ich verstehe das nicht einmal mit Lösung. Dabei hatte ich Mathe und Stochastik im Abitur.

Die Mengen sind vielleicht etwas abstrakt definiert, aber von der reinen Mathematik habe ich praktisch weitgehend Abiturniveau benutzt.

Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Tribel (M,E,P), bestehend aus einer Menge M, möglichen Ereignissen auf dieser Menge (E), und einem Wahrscheinlichkeitsmaß, welches den Ereignissen Wahrscheinlichkeiten zuordnet.

Der W'Raum (K,E,P) wäre dann die Anzahl aller Paare von Geschlechts-Wochentagskombinationen. E wäre die Menge aller Teilmengen von K, das ist eher technisch und hier nicht weiter wichtig. P ist hier einfach 1/(Anzahl Elemente von K), d.h. die Gleichverteilung über K. Jede Kombination aus Wochentag und Geschlecht ist gleichwahrscheinlich, demnach auch jede Kombination aus Paaren von Geschlecht und Wochentag.

Wenn man das alles definiert hat, dann geht es ganz klassisch weiter. Man defineirt seine beiden Ereignisse A und B, um die Lösung als bedingte Wahrscheinlichkeit hinzuschreiben (das sieht man ja aus der Frage). Diese bedingte Wahrscheinlichkeit rechnet man dann mit dem Satz von Bayes aus.

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Original von Snaile
Mein Traum wäre es ja Mathematik zu studieren. Ohne Spaß jetzt. Das fände ich klasse. Man kann damit so viel machen und erklären. Leider bin ich dafür wohl zu dämlich.

Am Anfang ist es hart. Es ist in Teilen so, wie eine neue Sprache zu lernen, welche nur streng logisch ist. Diese Sprache ist dafür universell und man kann mir ihr viele Dinge ausdrücken.

Man sollte aber Mathematik nicht studieren, wenn man Mathematik anwenden will, d.h. man lernt in einem Mathematikstudium nicht rechnen.
Mathematik ist ein Strukturstudium, d.h. du lernst abstrahieren und wie man neue Struktureen baut und diese untersucht.

Die Ganze Zeit geht es so ab:
Man definiert sich etwas, d.h. man schafft sich eine Abkürzung, indem man etwas mit mehreren (meistens 3) Eigenschaften ein neues Wort zuweist.
Dann hat man einen Satz, der das neu definierte Objekt in Relation zu schon bekannten Objekten setzt.
Als letztes beweißt man diesen Satz mit den Eigenschaften aus der Definition, indem man aus diesen auf schon bekanntes schließt.

Was anderes macht man eigentlich nie. :p
Dafür gibt es viele verschiedene Bereiche, man lernt eine gute Art zu denken und die Berufschancen sind später ganz gut.

Das tolle an der Mathematik ist die Abstraktion. Sobald irgendein Objekt auch die 3 Eigenschaften hat, welche du oben zur Definition des neuen Objektes benutzt hast, so gehört es auch dazu. Man kann dann sofort alles, was man für das alte Objekt schon bewiesen hat, sofort für das neue Objekt anwenden.

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Original von Snaile
Also rätst Du mir zu einem Mathematikstudium, auch wenn ich das im Abitur nur auf Biegen und Brechen begriffen habe, die Mathematik als solche aber sehr interessant finde? Ich bin ohnehin kein reiner Anwender, ich verstehe gerne, was ich lerne.

Schulmathematik ist etwas anderes als Unimathematik, man macht auch andere Dinge. Vor allem muss dich Mathematik interessieren (was natürlich schwer zu beurteilen ist, wenn man nicht weiß, was Mathematik ist). *gg*

Wenn du sehr viel Mühe mit der Mathematik in der Schule hattest, ist ein Mathematikstudium sicher nichts für dich.

In den meisten Universitätsstudien solltest du verstehen, was du lernst. Zwar ist es bei vielen nicht notwendig, aber hilfreich ist es fast immer.
Das Mathematikstudium ist wohl eines derjenigen, wo man am meisten verstehen muss bzw. wo es fast ausschließlich nur um Verständnis geht.

Ich würde dir emüfehlen dich mal in ein paar Mathematikvorlesungen reinzusetzen. Wenn du jetzt im Oktober anfangen willst, dann geh jetzt mal in Analysis 2 in eine Uni bei dir in der Nähe.

danke

Das Bemerkenswerte beim allgemeinen Ergebnis ist auch, dass die analoge Situation beim Monats- und nicht Wochentag zu einer Wahrscheinlichkeit näher bei 1/2 führt. Dies sollte auch so sein, weil die Zusatzinformation natürlich umso wertloser ist, je geringer ihre Eintrittswahrscheinlichkeit. Die Abweichung von 1/2 kommt ja dadurch Zustande, dass bei den Kombinationen jeweils eine wegfällt.

Eine heuristische Erklärung ist auch: Die Gleichverteilung hat (informationstheoretisch) die niedrigste Entropie bzw. den niedrigsten Informationsgehalt. Wenn beide Kinder Jungs sind und das gleiche Zusatzmerkmal haben, dann ist der Informationsgehalt niedriger, als wenn dem nicht so wäre.