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Prophetie (Mathe)

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AtroX_Worf

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06.07.2009, 13:16

Prophetie (Mathe)

Es ist folgendes Spiel gegeben:

Der Moderator schreibt 2 unterschiedliche, reelle Zahlen x, y einzeln und verdeckt auf jeweils eine Karte und steckt diese in jeweils 2 verschiedene Briefumschläge.

Der Spieler darf zufällig einen der beiden Briefumschläge ziehen und öffnen, er sieht also eine reelle Zahl. Offensichtlich zieht der Spieler jeden der beiden Umschläge mit Wahrscheinlichkeit 1/2.

Ziel des Spiels ist es zu erraten, ob diese aufgedeckte Zahl die kleine oder die größere von beiden ist. Nachdem der Spieler die erste Zahl gesehen hat, gibt er seinen Tipp ab. Anschließend wird der zweite Umschlag geöffnet und der Spieler hat gewonnen, wenn er es richtig vorausgesagt hat. Andernfalls hat er verloren.

Der Einsatz für das Spiel beträgt 1€. Hat man richtig vorausgesagt, ob es sich bei der gezeigten Zahl um die größere bzw. kleinere handelt, so bekommt man 2€ zurück, d.h. man macht einen Gewinn von 1€. Lag man jedoch falsch, so bekommt man 0€ zurück, d.h. man macht einen Gewinn von -1€.

Losgelöst vom Ruinproblem, sollte man dieses Spiel spielen? D.h., kann man mit einer Wahrscheinlichkeit von echt > 1/2 vorhersagen, ob die aufgedeckte Zahl die größere bzw. kleine von beiden war?

;)

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »AtroX_Worf« (06.07.2009, 18:30)

TID_geRIPpe

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06.07.2009, 13:24

denke mal der abstand von 0 bringt einen hypothetischen wahrscheinlichkeitsvorteil.

AtroX_Worf

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3

06.07.2009, 13:27

Zitat

Original von TID_geRIPpe
denke mal der abstand von 0 bringt einen hypothetischen wahrscheinlichkeitsvorteil.

auf deutsch?

Man hat keinen Einfluß, welche 2 Zahlen der Moderator auf die Karten schreibt. Man weiß nur, dass diese unterschiedlich sind, damit man entscheiden kann, ob x<y oder x>y gilt.

Wir können statt reellen Zahlen auch ganze Zahlen nehmen, d.h. {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ...}, wenn es sich so einfacher denken lässt.

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »AtroX_Worf« (06.07.2009, 13:31)

TID_geRIPpe

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06.07.2009, 14:03

bei 1 , die andere zahl ist kleiner.
bei -1, die andere zahl ist grösser.

OLV_sid_meier

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06.07.2009, 14:09

yo, also wenn man ansonsten keine informationen hat, und man den moderator nicht kennt, dann würde ich das auch so sehen

Sheep

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06.07.2009, 14:20

Klar sollte man das Spiel spielen. Man spielt, bis man 1€ im Plus ist, und macht dann irgendwann die nächste Partie usw. ...

CID_God_at

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06.07.2009, 15:18

Das versteh ich nicht wieso ist die chance da nicht genau 50%? o.O

myabba|abra

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06.07.2009, 15:58

Zitat

Original von Sheep
Klar sollte man das Spiel spielen. Man spielt, bis man 1€ im Plus ist, und macht dann irgendwann die nächste Partie usw. ...


Häh?
Damit ziehst du doch nur den Test in die Länge, an der Gewinnwahrscheinlichkeit ändert sich doch nichts, der prozess ist sicher ergodisch

Aber an der Grundidee "Solange spielen bis man +1€ hat"- ist imho nichts auszusetzen, das kommt sicher irgendwann vor

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »myabba|abra« (06.07.2009, 16:00)

kOa_Master

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06.07.2009, 16:19

also ich hätte gesagt - theoretisch gehts nicht. es gibt keine grenze nach oben oder unten. man müsste ja sagen können "x=100 ist näher bei 100'000 als -100'000, deshalb wähl ich y<x).

bei plus und minus unendlich geht das nicht.


und @sheep/abra: wer sagt, dass +1€ überhaupt jemals vorkommt?

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »kOa_Master« (06.07.2009, 16:21)

CF_Widowmaker

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06.07.2009, 16:29

Sehe das wie Master.
Ich muss ja wissen, wieviel Zahlen theoretisch über oder unter meiner Zahl sind.
Und wenns je unendlich viel sind kann ich kein Aussage über die Wahrscheinlichket machen imo.
Aber das ist nur ein Schnellschuss^^

Rommel

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06.07.2009, 16:35

ne ist eben nicht +- unendlich da auf dem papier nur begrenzt platz ist

Sheep

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12

06.07.2009, 17:45

Zitat

Original von kOa_Master
und @sheep/abra: wer sagt, dass +1€ überhaupt jemals vorkommt?


Man muss nur lang genug spielen. Wenn du Langeweile hast, probier es mit einer Münze aus...

myabba|abra

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06.07.2009, 17:52

Zitat

Original von kOa_Master
und @sheep/abra: wer sagt, dass +1€ überhaupt jemals vorkommt?


Ist doch wahrscheinlich?
Ich würde jetzt mal von einer (diskreten) Gaußverteilung um 0€ ausgehen, wenn man unendlich lange spielt und den aktuellen Stand speichert

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »myabba|abra« (06.07.2009, 17:53)

AtroX_Worf

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06.07.2009, 18:07

Zitat

Original von TID_geRIPpe
bei 1 , die andere zahl ist kleiner.
bei -1, die andere zahl ist grösser.

Also gibt es mehr ganze Zahlen >1 als ganze Zahlen <1? *gg*

Es gibt schon eine richtige mathematische Lösung, nicht so etwas komisches (und falsches ;)). Ich verrate es aber noch nicht, erstmal noch ein paar Antworten und Gedankengänge abwarten. 8)

Ach ja, das mit dem Geldgewinn ist nur ein Nebeneffekt, um es anschaulicher zu machen. Es ist einfach gefragt, ob man mit einer Wahrscheinlichkeit von > 1/2 richtig vorhersagen kann oder nicht, und wenn ja, wie genau man es anstellen muss. Es geht hier nicht um Verdopplungsstrategien und das Ruin-Problem etc.

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CID_God_at

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06.07.2009, 18:17

Also wenn ich die Aufgabe vor mir hätte würde ich mich einfach vorher schon entscheiden egal welche Zahl auf dem Zettel steht, zb: immer höher damit sollte die Chance 50% sein.

OoK_Isch

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06.07.2009, 18:23

Hä? Es gibt genausoviele reelle Zahlen die kleiner einem beliebigen x sind wie es Zahlen gibt die größer x sind.
Also ist es nicht möglich mit einer Wahrscheinlichkeit >1/2 vorherzusagen was eintritt.

AtroX_Worf

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06.07.2009, 18:27

Zitat

Original von OoK_Isch
Hä? Es gibt genausoviele reelle Zahlen die kleiner einem beliebigen x sind wie es Zahlen gibt die größer x sind.
Also ist es nicht möglich mit einer Wahrscheinlichkeit >1/2 vorherzusagen was eintritt.

Die erste Aussage sollte man noch einmal unterstreichen, sie gilt vor allem für ganze Zahlen! Für reelle Zahlen würde ich es nicht unbedingt so ausdrücken, der Sinn ist aber richtig.
Ob die Folgerung richtig ist, verrate ich jedoch noch nicht. ;)

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »AtroX_Worf« (06.07.2009, 18:29)

OoK_Isch

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06.07.2009, 18:36

Wieso für reelle Zahlen nicht? Gibt in jeder Richtung überabzählbar viele, das ist für mich 'gleich' viel

[AA]Hawk

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19

06.07.2009, 18:43

Usprungsfrage: bei gelesene Zahl > 1/2 auf "andere is kleiner" tippen, bei < 1/2 auf "andere is größer"

oder ganze Zahlen: bei gelesene positiv auf "andere is kleiner" tippen, bei gelesene negativ auf "andere is größer"

die Mengen sind zwar gleichmächtig aber die WK / der EW dürfte für mich bei dieser Strategie trotzdem > 1/2 / > 0 sein - leider nur gefühlt, die Zeit wo ich das hätte beweisen können is lang her (immer angenommen es stimmt überhaupt ^^)

AtroX_Worf

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06.07.2009, 18:46

Zitat

Original von OoK_Isch
Wieso für reelle Zahlen nicht? Gibt in jeder Richtung überabzählbar viele, das ist für mich 'gleich' viel

Die ganzen Zahlen sind abzählbar, die reellen Zahlen sind überabzählbar, wie du schon sagst. Ich würde bei überabzählbar vielen nicht unbedingt von "genausovielen" sprechen, da man reelle Zahlen in Intervallen ja nicht wirklich gut zählen kann. Das mag aber auch nur geschmackssache sein.

Am Problem ändert das aber nichts. Ich habe es ja auch extra noch einmal auf ganze Zahlen eingeschränkt, damit der von dir geäußerte Sachverhalt eben kein Problem darstellen kann.

Zitat

Original von [AA]Hawk
ganze Zahlen: bei gelesene positiv auf "andere is kleiner" tippen, bei gelesene negativ auf "andere is größer"

die Mengen sind zwar gleichmächtig aber die WK / der EW dürfte für mich bei dieser Strategie trotzdem > 1/2 / > 0 sein - leider nur gefühlt, die Zeit wo ich das hätte beweisen können is lang her (immer angenommen es stimmt überhaupt ^^)

äh nein, wie aus den Postings davor schon hervorgeht. Außerdem hatte TID_geRIPpe diese Idee auch schon. Sie würde ja eben darauf basieren, dass es irgendwie doch mehr ganze Zahlen kleiner 1 gibt als größer 1 (btw, du hast du 0 ausgelassen).

Es gibt schon eine richtige Lösung, nicht sowas komisches. ;)

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »AtroX_Worf« (06.07.2009, 18:49)

pitt82

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06.07.2009, 18:49

Zitat

kann man mit einer Wahrscheinlichkeit von echt > 1/2 vorhersagen, ob die aufgedeckte Zahl die größere bzw. kleine von beiden war?


oO

AtroX_Worf

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06.07.2009, 18:50

Zitat

Original von pitt82

Zitat

kann man mit einer Wahrscheinlichkeit von echt > 1/2 vorhersagen, ob die aufgedeckte Zahl die größere bzw. kleine von beiden war?


oO

Konditional zum eigenen Wissen ist es eine Vorhersage, auch wenn die Zahl schon im Umschlag steckt.

Aber wir wissen ja alle, wie es gemeint ist.

Chevron

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23

06.07.2009, 19:19

RE: Prophetie (Mathe)

Zitat

Original von OoK_Isch
Wieso für reelle Zahlen nicht? Gibt in jeder Richtung überabzählbar viele, das ist für mich 'gleich' viel

Die Menge der reellen Zahlen zwischen 0 und 1 ist auch gleichmächtig zur Menge der reellen Zahlen zwischen 1 und 100.
Aber wenn du völlig zufällig eine Zahl zwischen 0 und 100 auswählen könntest (was natürlich unmöglich ist ^^), dann wäre die Wahrscheinlichkeit, dass sie zwischen 0 und 1 liegt, kleiner als die Wahrscheinlichkeit, dass sie zwischen 1 und 100 liegt.

Zitat

Original von AtroX_Worf
Losgelöst vom Ruinproblem, sollte man dieses Spiel spielen? D.h., kann man mit einer Wahrscheinlichkeit von echt > 1/2 vorhersagen, ob die aufgedeckte Zahl die größere bzw. kleine von beiden war?

IMHO nur dann, wenn man Informationen darüber hat, wie der Moderator seine Zahlen auswählt. Ansonsten nein.

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »Chevron« (06.07.2009, 20:16)

[AA]Hawk

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06.07.2009, 19:24

Worfs bisherige posts klangen irgendwie so als würde der Moderator die Zahlen echt zufällig auswählen, hm

nachdem er zu meiner Vermutung nein gesagt hat, ist die Frage ja schon beantwortet, es fehlt nur noch die Begründung :)

GEC|Napo

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25

06.07.2009, 19:54

Trotzdem hat man es nur mit einer endlichen Zahl von Zahlen zu tun, da die Größe des Umschlags ja beschränkt, und damit auch des Papiers, die hineingeht.
Kommt natürlich auch auf den Moderator an, wenn die Zahlen wirklich zufällig gewählt werden, dann muss man halt bei > 0 auf größer entscheiden etc, aber bei einem menschlichen Moderator ist es fast unmöglich da eine vernünftige Dichtefunktion/Verteilungsfunktion als Entscheidungskrierium anzugeben.

pitt82

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26

06.07.2009, 19:54

RE: Prophetie (Mathe)

Zitat

Original von Chevron
Aber wenn du völlig zufällig eine Zahl zwischen 1 und 100 auswählen könntest (was natürlich unmöglich ist ^^), dann wäre die Wahrscheinlichkeit, dass sie zwischen 0 und 1 liegt, kleiner als die Wahrscheinlichkeit, dass sie zwischen 1 und 100 liegt.


Beweis?

GEC|Napo

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27

06.07.2009, 20:27

Allein durch Logik....wenn sie zwischen 1 und 100 liegt kann sie nicht zwischen 0 und 1 liegen :D
Aber ernstahft, größere Intervalle haben größere Wahrscheinlichkeiten, ungeachtet von der Mächtigkeit, das ist einfache Maßtheorie/Stochastik.

[AA]Hawk

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28

06.07.2009, 20:54

dann hätte ich ja doch wieder Recht (oder ich versteh iwas kräftig miss)

Chevron

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29

06.07.2009, 21:12

RE: Prophetie (Mathe)

Zitat

Original von pitt82

Zitat

Original von Chevron
Aber wenn du völlig zufällig eine Zahl zwischen 1 und 100 auswählen könntest (was natürlich unmöglich ist ^^), dann wäre die Wahrscheinlichkeit, dass sie zwischen 0 und 1 liegt, kleiner als die Wahrscheinlichkeit, dass sie zwischen 1 und 100 liegt.


Beweis?

Da ich mich ja günstig verschrieben hatte, ist der Beweis recht simpel :D

Ansonsten siehe
http://de.wikipedia.org/wiki/Dichtefunktion

Die Dichtefunktion wäre hier im Intervall von 0 bis 100 konstant (ungleich Null) und sonst gleich Null. Wenn man die nun einmal von 0 bis 1 integriert und dann von 1 bis 100, kommt nicht das Gleiche raus :)

GEC|Napo

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30

06.07.2009, 21:42

Ach ich bin mir gar nicht mehr sicher, wie soll zB eine Gleichverteilte Dichtefunktion auf den reellen Zahlen aussehen? Da müsste ja jedes beschränkte Intervall Maß 0 haben, klar ist die Wahrscheinlichkeit einer Zahl < oder > 0 gleich 0,5, aber irgendwie scheints auch egal zu sein wo man die Granze setzt.
Wahrscheinlich kann man eine reelle Zahl gar nicht wirklich zufällig generieren.
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