relativ einfache lineare algebra

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ZXK_Truespin

Profi

Beiträge: 1 314

Wohnort: wilhelmshaven

Beruf: GER

24.10.2008, 16:32

relativ einfache lineare algebra

hmmmm ich soll hier so eine kleinigkeit beweisen, hab aber irgendwie nicht die zündende idee! der professor meint, wir sollen das nicht über das charakteristische polynom argumentieren ..... aber wie denn sonst ?

kann das hier jemand lösen ?

müsste doch ein leichtes sein eigentlich...

Gilt RangA = k, so hat A höchstens k + 1 verschiedene Eigenwerte.

vielen dank

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Erg_Raider

Meister

Beiträge: 1 823

Wohnort: GER

24.10.2008, 16:53

ich würde sogar sagen, dass es maximal k eigenwerte sind. zu jedem eigenwert gibt es einen eigenvektor. und es kann nicht mehr linear unabhängige eigenvektoren geben als dimensionen (k).

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kOa_Master

Erleuchteter

Beiträge: 12 493

Wohnort: Basel

Beruf: CH

24.10.2008, 18:00

RE: relativ einfache lineare algebra

Zitat

Original von ZXK_Truespin
Gilt RangA = k, so hat A höchstens k + 1 verschiedene Eigenwerte.

vielen dank

das geht ganz sicher nicht O_o
hat erg schon begründet.

1 <= k <= n.
n dimension der matrix, k = anzahl eigenwerte...

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para

Schüler

Beiträge: 70

24.10.2008, 18:15

Natürlich gehts, braucht man nur die Abbildung x->0, x in R anschauen.
Die Aussage mit k+1 stimmt, weil die Eigenräume zu Eigenwerten ungleich 0 auf sich selbst abgebildet werden.

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kOa_Master

Erleuchteter

Beiträge: 12 493

Wohnort: Basel

Beruf: CH

24.10.2008, 18:35

Zitat

Original von para
Natürlich gehts, braucht man nur die Abbildung x->0, x in R anschauen.
Die Aussage mit k+1 stimmt, weil die Eigenräume zu Eigenwerten ungleich 0 auf sich selbst abgebildet werden.

weiter erläutern bitte

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Erg_Raider

Meister

Beiträge: 1 823

Wohnort: GER

24.10.2008, 18:54

Zitat

Original von para
Natürlich gehts, braucht man nur die Abbildung x->0, x in R anschauen.
Die Aussage mit k+1 stimmt, weil die Eigenräume zu Eigenwerten ungleich 0 auf sich selbst abgebildet werden.

ok hier haben wir vielleicht unterschiedliche definitionen. bei uns ist 0 als eigenwert immer ausgeschlossen.

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kOa_Master

Erleuchteter

Beiträge: 12 493

Wohnort: Basel

Beruf: CH

24.10.2008, 19:02

Zitat

Original von Erg_Raider

Zitat

Original von para
Natürlich gehts, braucht man nur die Abbildung x->0, x in R anschauen.
Die Aussage mit k+1 stimmt, weil die Eigenräume zu Eigenwerten ungleich 0 auf sich selbst abgebildet werden.

ok hier haben wir vielleicht unterschiedliche definitionen. bei uns ist 0 als eigenwert immer ausgeschlossen.

ich dachte das sei grundsätzlich so. aber gut, ich studier nicht mathe, von dem her keine ahnung...

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para

Schüler

Beiträge: 70

24.10.2008, 19:07

Verwechselt ihr grad Eigenwert und Eigenvektor? Wäre absoluter nonsens 0 von den Eigenwerten auszuschließen.

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kOa_Master

Erleuchteter

Beiträge: 12 493

Wohnort: Basel

Beruf: CH

24.10.2008, 19:11

nicht 0 als eigenwert ausschliessen, aber x=0.
oder willst du den nullvektor nehmen?

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Erg_Raider

Meister

Beiträge: 1 823

Wohnort: GER

24.10.2008, 19:20

Zitat

Original von para
Verwechselt ihr grad Eigenwert und Eigenvektor? Wäre absoluter nonsens 0 von den Eigenwerten auszuschließen.

nein genau das meine ich.

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GEC|Napo

Erleuchteter

Beiträge: 8 654

Wohnort: Köln

Beruf: GER

24.10.2008, 19:20

leute denkt mal nach rang ist nicht gleich größe der matrix....für rang k gibts bis zu k verschiedene eigenwerte und dann +1 für einen möglichen 0 eigenwert, der vom rang natürlich nicht erfasst wird.

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Erg_Raider

Meister

Beiträge: 1 823

Wohnort: GER

24.10.2008, 19:34

@napo:
genau das ist aber irrelevant, wenn man 0 nicht als eigenwert zulässt.
wie schon gesagt, wir haben andere definitionen. bei uns wurde 0 von vorneherein als eigenwert ausgeschlossen. über den sinn dieser definition kann man streiten, ich sehe auch ein, dass man 0 zulässt, aber einen eigenvektor 0 dafür ausschließt. wir habens halt so gelernt, dann gibts keine schwierigkeiten

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ZXK_Truespin

Profi

Beiträge: 1 314

Wohnort: wilhelmshaven

Beruf: GER

24.10.2008, 22:57

jau genau so wollt ichs auch machen, aber wie sieht denn da ein beweis aus ? dann argumentiert man ja eigentlich doch wieder über char polynom

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GEC|Napo

Erleuchteter

Beiträge: 8 654

Wohnort: Köln

Beruf: GER

25.10.2008, 00:28

Machs so, zeig das Eigenverktoren zu verschiedenen Eigenwerten linear unabhängig sind, daraus kann man die Behauptung leicht folgern.

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AtroX_Worf

Erleuchteter

Beiträge: 11 465

Wohnort: Hamburg

Beruf: GER

25.10.2008, 10:38

Zitat

Original von para
Verwechselt ihr grad Eigenwert und Eigenvektor? Wäre absoluter nonsens 0 von den Eigenwerten auszuschließen.

!!!
Ansonsten gehe ich mit Napo's beiden Bemerkungen mit.

Stellt euch eine lineare Abbildung A vor. rang(A) zählt als dim(bild(A)) die Anzahl der Eigenwerte != 0. Die können alle höchstens verschieden sein, dazu ein Eigenwert = 0 => A ist singulär mit höchstens k+1 verschiedenen EWs. (eine zugehörige Matrix wäre also (k+1) x (k+1) groß und nicht k x k, denke hier liegt der Denkfehler bei den meisten -> auf Napo hören).