achsgelenke sind die dinger, die dafür sorgen, dass dein neues auto nicht nur geradeaus fährt, wenn du das lenkrad nach rechts oder links drehst! sitzen hinter den reifen am querlenker und übertragen den druck der servo auf die räder! merkst du am besten, wenn du bei ner probefahrt 3-4 x schnelle kurze kurven fährst, wenn die lenkung zuviel spiel hat oder es gar knackt, dann sind die dinger hin! ist aber nicht so nervig die zu wechseln, glaube gar bmw wechselt die sogar, ohne den querlenker auszubauen. also ersatzteile und einmal bmw kundenservice, ca. 500.- €
ansonsten achte auf rost, hinten die schweller checken, wenn da rost ist, bloß die finger von lassen, solche autos sind nur für liebhaber mit schweißgerät!

genauso am unterboden, macht man nur, wenn man schweißen kann oder einen kennt, der einem das macht!
motorraum wie schon erwähnt anschauen, auch mal mit der hand reinfassen und schauen, ob irgendwo öl ist, wenn es geht, von unten schauen, evtl. hat er ne bühne, wo du den wagen rauffahren kannst und dann schauen, ob unten rost, öl oder neue teile angeschweißt sind! wenn ja, dann finger weg!
wenn du übrigens mitglied im adac bist, kannst du den wagen während der probefahrt dahin bringen und die checken dir auch mal schnell die spannung etc. durch, musst nur vorher rechtzeitig nen termin machen! oder schnell mitglied werden, lohnt sich bei dem auto evtl. sowieso!
ansonsten noch bei der probefahrt auf geräusche achten, irgendwo schläge oder klopfen, was nicht normal klingt? einmal mal durchtreten, kurz BAB rauf und runter.
naja und was il genio sagte natürlich auch, aber das sind dinge, die man evtl. auch selber machen könnte, wichtig ist, dass der motor in ordnung ist und das fahrgestell keinen rost oder andere beschädigungen hat!! dann lass es, nur stress mit solchen karren! achte auch darauf, ob der lack gleichmässig aussieht, nicht an einigen stellen überlackiert und darunter nur geschliffener spachtel und dann rost o.ä.!
wenn du irgendwelche mängel feststellst, würde ich im übrigen nicht gleich die finger davon lassen! achsgelenke bspw. kann man gut und günstig selber wechseln, auch bremsen bauste in einer werkstatt unter anleitung günstig selber ein, würde dann eher den preis drücken, bei der karre sind bestimmt noch 500.- € rauszuholen, selbst wenn sie so gepflegt ist, wie auf den bildern!