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geometrie pros

Kali

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1

Monday, October 11th 2004, 7:30pm

geometrie pros

Hallo!
Ich habe ein kleine unbedeutendes Problem in Geometrie :)
Und zwar will ich beweisen können, das folgende Formel zur Berechnung von der Fläche eines Trapezes stimmt: "(a+b)/2*h"
In diesem Falle sind a und b die 2 seiten die parallel zueinander sind. Und h ist der Abstand der Parallelen.

So wie kann man nun beweißen das diese Formel so stimmt?
Danke an Helfende :)

Pazifist

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2

Monday, October 11th 2004, 7:48pm

welche klasse bzw schule gehstn du?
Also ich würde die hier hernehmen:
1/2*(a+b)*h

a=unter seite
b=obere Seite
h=abstand der beiden seiten(höhe)

Hoffentlich ist das richtig dann bin ich stolz wien Hinigkuchen:] weil ich in mathe ne absolute niete bin und immer grad so durchrutsche also vertrau mir nicht;)

Neptune

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3

Monday, October 11th 2004, 7:51pm

Quoted

1/2*(a+b)*h

... ist das gleiche was er geschrieben hat, und dass es richtig ist, steht außer Frage, es fehlt nur der Beweis dafür.

myabba|abra

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4

Monday, October 11th 2004, 7:53pm

1/2 (a+b) ist quasi die durchschnittsfläche der beiden paralelen, so dass die formel ansich die fläche eines rechtecks berechnet

Kali

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5

Monday, October 11th 2004, 8:05pm

Kann mir das jemand noch Mathematisch beweisen? Weil irgnwie muss ich auf die (a+b)/2*h gekommen sein.

@Gandalf
In die 10 Klasse einer Realschule.

myabba|abra

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6

Monday, October 11th 2004, 8:18pm

ha, ich bin toll, ich hab den beweis selbst erarbeitet ;)

also:
a= die große paralele
b= die kürze
h = die höhe
a"=0,5 * (a-b)

die fläche besteht ja aus einem rechteck und 2 den zwei kleinen dreiecken
fläche des dreiecks :
0,5(h*a")
wir habens aber zweimal, also h*a"
das rechteck ist h*b
gesamtansatz: ha"+hb
ersetzt man nur a" mit 0,5(a-b) kommt man zu h*(0,5(a-b))+hb
ausmultipliziert ergibt das dann 0,5ha+0,5hb
ausklammern: 0,5h(a+b)
:) :)

Sheep

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7

Monday, October 11th 2004, 8:28pm

Ein Trapez kann man in ein Rechteck und zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen. Damit das ganze etwas anschaulicher ist, beziehe ich mich mal auf das Trapez der Wikipedia...

http://de.wikipedia.org/wiki/Trapez_(Mathematik)

Die Dreiecke bestehen aus d, h und einem Teil von a (taufen wir ihn mal e) bzw. aus b, h und einem Teil von c (kurz f). Die verbliebenen Teile von a und c nenne ich mal g, beide sind identisch gross.

Es ergeben sich folgende Flächeninhalte...

Dreieck links: A(1) = h * e / 2
Dreieck rechts: A(2) = h * f / 2
Rechteck: A(3) = g * h

Ausserdem gilt noch...

e + g = a
f + g = c
A = A(1) + A(2) + A(3)

A = h * e / 2 + h * f / 2 + h * g
= h ( e / 2 + f / 2 + g )
= h ( e + f + 2g ) / 2
= h ( a - g + c - g + 2g ) / 2
= h ( a + c ) / 2

a und c sind zwei gegenüberliegende, parallele Seiten, wie im Bild zu sehen ist. Für paarweise parallele Seiten, also den Spezialfall eines Parallelogramms, geht es genauso.

Snaile

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8

Monday, October 11th 2004, 8:31pm

Streber 8o

myabba|abra

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9

Monday, October 11th 2004, 8:34pm

sheep der besserwisser ;)

ich find ja meins anschaulicher, allerdings beziehe ich mich auf ein ähh gleichmäßiges rechteck glaub ich (der einfachheit halber)

Illuminat

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10

Monday, October 11th 2004, 8:38pm

naj streber nun nich er weiß wo er suchen muss :D

btw wickipedia roxx hard :D

myabba|abra

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11

Monday, October 11th 2004, 8:39pm

ich hab nix gesucht, habs selbst erarbeitet, sheep wohl auch :)

ZwerG_Serge

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12

Monday, October 11th 2004, 8:57pm

RE: geometrie pros

Quoted

Original von Kali

Und zwar will ich beweisen können, das folgende Formel zur Berechnung von der Fläche eines Trapezes stimmt: "(a+b)/2*h"


Quoted

Original von Gabba Gandalf
Also ich würde die hier hernehmen:
1/2*(a+b)*h

:respekt:

This post has been edited 1 times, last edit by "ZwerG_Serge" (Oct 11th 2004, 8:57pm)

Kali

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13

Monday, October 11th 2004, 9:14pm

@ abrax
sry ich hatte mich verschrieben. ich meinte (a+c), also wenn man von einem Standart Trapez ausgeht, aber ich hatte ja eigntlich gesagt, das a und b Parallel zueinder sind, als kann b nicht kürzer sein. Tut mir leid für das Missverständnis, aber danke für den guten Willen :)

@sheep
Ich bin ein wenig verunsichert. Du sagst, dass das 2 Dreieck die Seite c beinhaltet, doch wenn man ein Trapez (2 seiten parallel) nimmt, kann c gar keine Seite des Dreieckes sein.
Ein Stück von a müsste wieder die seite seien. Also müsste man 2((e*h)/2) rechnen.
Ich weiß jetzt nich ob das stimmt was ich sage, aber um die Fläche eines Dreieckes zu bestimmen, gilt doch folgende Formel:" grundseite * Höhe /2" nur is die Höhe des Dreieckes nicht vorhanden. Nur "h" was, aber in diesem Fall eine Seite des Dreieckes ist und keine Höhe, oder?
Ich hoffe ich liege falsch, dann hätte ich jetzt die Lösung :D und wenn ich falsch liege, könntest du mir erklären warum es doch so ist?

Danke dir :) und danke für die mühe!

Sheep

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14

Monday, October 11th 2004, 9:17pm

Quoted

Original von abraXas
sheep der besserwisser ;)

ich find ja meins anschaulicher, allerdings beziehe ich mich auf ein ähh gleichmäßiges rechteck glaub ich (der einfachheit halber)


Ich guck absichtlich NICHT, ob schon jemand fertig ist. Bei meinem Schildkrötentempo müsste ich dann in der Hälfte der Fälle mindestens eine halbe Seite wieder wegwerfen. :D

Bei den Dreiecken musst du garkeine Einschränkungen machen. Rechtwinklig sind sie auf jeden Fall, weil sie durch das Fällen eines Lotes entstehen. Die beiden Katheten (kürzere Seiten um dem rechten Winkel herum) müssen nicht gleichlang sein.

myabba|abra

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15

Monday, October 11th 2004, 9:22pm

Quoted

Original von Kali
@ abrax
sry ich hatte mich verschrieben. ich meinte (a+c), also wenn man von einem Standart Trapez ausgeht, aber ich hatte ja eigntlich gesagt, das a und b Parallel zueinder sind, als kann b nicht kürzer sein. Tut mir leid für das Missverständnis, aber danke für den guten Willen :)


häh?
ob a,b,c,dackel oder hans is scheißegal =P
wir meinen das selbe
und wenn b nicht kürzer ist als a, hast dus entweder umgedreht oder ein rechteck ;)

Sheep

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16

Monday, October 11th 2004, 9:25pm

Quoted

Original von Kali
@sheep
Ich bin ein wenig verunsichert. Du sagst, dass das 2 Dreieck die Seite c beinhaltet, doch wenn man ein Trapez (2 seiten parallel) nimmt, kann c gar keine Seite des Dreieckes sein.


Das ist richtig, c ist (normalerweise) nicht komplett Teil des Dreiecks. Genauso wie beim ersten Dreieck habe ich nur einen Teil von c genommen, nämlich g. Nochmal das Bild aus der Wikipedia...



Zieh von B senkrecht eine Strecke hoch, bis du auf c triffst. c wird dadurch in zwei Teile geteilt, der kleinere, rechte ist g. Das zweite Dreieck hat dann die Seiten h (eben konstruiert, zum anderen h nur parallverschoben), g und b.

This post has been edited 1 times, last edit by "Sheep" (Oct 11th 2004, 9:26pm)

Kali

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17

Monday, October 11th 2004, 9:33pm

Ja mir fällt grad auf, das die h gleichzeitig die Höhe und eine Seite ist :)

Das Bild ist ein Paralelogramm wenn ich mich nicht irre oder?
Kann glaube sein, das ein Trapez das selbe ist, aber bei mir sind nur 2 Seiten parallel. d ist nich prallel zu b. Hätte ich noch erwähnen sollen.

aba daraus ergibt sich ja eine andere Rechnung:

Dreieck1= (e*h)/2
Dreieck2= (e*h)/2
<=> 2((e*h)/2)
nun der Rechteck in der Mitte:

f*h

es gilt
f= a-2e
e= ?? da hängts jetzt bei mir...

aber is der rest soweit richtig?

so ein trapez mein ich

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plizzz

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18

Monday, October 11th 2004, 9:37pm

Das Bild ist ein Trapez *wunder*. :D

Sheep

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19

Monday, October 11th 2004, 9:47pm

Quoted

Original von Kali
Das Bild ist ein Paralelogramm wenn ich mich nicht irre oder?
Kann glaube sein, das ein Trapez das selbe ist, aber bei mir sind nur 2 Seiten parallel. d ist nich prallel zu b. Hätte ich noch erwähnen sollen.


Bei einem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten immer parallel. Bei einem Trapez sind mindestens zwei gegenüberliegende Seiten parallel, das Parallelogramm ist davon ein Spezialfall.

Quoted

aba daraus ergibt sich ja eine andere Rechnung:

Dreieck1= (e*h)/2
Dreieck2= (e*h)/2
<=> 2((e*h)/2)
nun der Rechteck in der Mitte:

f*h

es gilt
f= a-2e
e= ?? da hängts jetzt bei mir...


Für ein Parallelogramm ist der Ansatz erstmal richtig. f ist allerdings a - e, du ziehst ja auf jeder Seite a nur eine Strecke e ab.

e = a + f, diese Gleichung bringt uns aber nichts und wir brauchen sie sowieso nicht


Die Gesamtfläche berechnet sich dann so...

A = 2 * ( ( e * h ) / 2 ) + f * h
= e * h + f * h
= h ( e + f )
= h ( e + a - e )
= h * a

Diese Flächenformel ist ein Spezialfall von h * ( a + c ) / 2, also der Flächenformel für Trapeze. Denn a ist bei einem Parallelogramm genausolang wie c.

A = h * ( a + c) / 2
= h * ( a + a ) / 2
= h * 2a / 2
= h * a

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myabba|abra

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20

Monday, October 11th 2004, 9:49pm

kali, glaub du hast paar mathematische verständnisprobleme und defizite in den fachausdrücken ;)

Sheep

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21

Monday, October 11th 2004, 9:50pm

Quoted

Original von Kali
so ein trapez mein ich


Argh hättest du das nicht ein paar Sekunden früher posten können... Hmm viel ändert sich nicht, Moment.

Dein Ansatz war...

Dreieck1= (e*h)/2
Dreieck2= (e*h)/2
<=> 2((e*h)/2)
nun der Rechteck in der Mitte:

f*h

es gilt
f= a-2e
e= ??

Das ist alles richtig. Eine Strecke f musst du nicht einführen, die ist identisch mit c. e kann man formulieren als...

e = ( a - c ) / 2

Die Formel für den Flächeninhalt sieht dann so aus...

A = 2 * ( ( e * h ) / 2 ) + c * h
= e * h + c * h
= ( a - c ) / 2 * h + c * h
= h * ( ( a - c ) / 2 + c )
= h * ( a / 2 + c / 2 )
= h ( a + c ) / 2

This post has been edited 1 times, last edit by "Sheep" (Oct 11th 2004, 9:58pm)

Kali

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22

Monday, October 11th 2004, 10:30pm

ahh danke:)! Das genau was ich gebraucht habe. :) Vielen dank nochmal! Und auch an der abrax. Der es irgnwie kürzer gefasst hatte :D