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geometrie pros

Kali

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1

11.10.2004, 19:30

geometrie pros

Hallo!
Ich habe ein kleine unbedeutendes Problem in Geometrie :)
Und zwar will ich beweisen können, das folgende Formel zur Berechnung von der Fläche eines Trapezes stimmt: "(a+b)/2*h"
In diesem Falle sind a und b die 2 seiten die parallel zueinander sind. Und h ist der Abstand der Parallelen.

So wie kann man nun beweißen das diese Formel so stimmt?
Danke an Helfende :)

Pazifist

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2

11.10.2004, 19:48

welche klasse bzw schule gehstn du?
Also ich würde die hier hernehmen:
1/2*(a+b)*h

a=unter seite
b=obere Seite
h=abstand der beiden seiten(höhe)

Hoffentlich ist das richtig dann bin ich stolz wien Hinigkuchen:] weil ich in mathe ne absolute niete bin und immer grad so durchrutsche also vertrau mir nicht;)

Neptune

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3

11.10.2004, 19:51

Zitat

1/2*(a+b)*h

... ist das gleiche was er geschrieben hat, und dass es richtig ist, steht außer Frage, es fehlt nur der Beweis dafür.

myabba|abra

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4

11.10.2004, 19:53

1/2 (a+b) ist quasi die durchschnittsfläche der beiden paralelen, so dass die formel ansich die fläche eines rechtecks berechnet

Kali

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5

11.10.2004, 20:05

Kann mir das jemand noch Mathematisch beweisen? Weil irgnwie muss ich auf die (a+b)/2*h gekommen sein.

@Gandalf
In die 10 Klasse einer Realschule.

myabba|abra

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6

11.10.2004, 20:18

ha, ich bin toll, ich hab den beweis selbst erarbeitet ;)

also:
a= die große paralele
b= die kürze
h = die höhe
a"=0,5 * (a-b)

die fläche besteht ja aus einem rechteck und 2 den zwei kleinen dreiecken
fläche des dreiecks :
0,5(h*a")
wir habens aber zweimal, also h*a"
das rechteck ist h*b
gesamtansatz: ha"+hb
ersetzt man nur a" mit 0,5(a-b) kommt man zu h*(0,5(a-b))+hb
ausmultipliziert ergibt das dann 0,5ha+0,5hb
ausklammern: 0,5h(a+b)
:) :)

Sheep

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7

11.10.2004, 20:28

Ein Trapez kann man in ein Rechteck und zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen. Damit das ganze etwas anschaulicher ist, beziehe ich mich mal auf das Trapez der Wikipedia...

http://de.wikipedia.org/wiki/Trapez_(Mathematik)

Die Dreiecke bestehen aus d, h und einem Teil von a (taufen wir ihn mal e) bzw. aus b, h und einem Teil von c (kurz f). Die verbliebenen Teile von a und c nenne ich mal g, beide sind identisch gross.

Es ergeben sich folgende Flächeninhalte...

Dreieck links: A(1) = h * e / 2
Dreieck rechts: A(2) = h * f / 2
Rechteck: A(3) = g * h

Ausserdem gilt noch...

e + g = a
f + g = c
A = A(1) + A(2) + A(3)

A = h * e / 2 + h * f / 2 + h * g
= h ( e / 2 + f / 2 + g )
= h ( e + f + 2g ) / 2
= h ( a - g + c - g + 2g ) / 2
= h ( a + c ) / 2

a und c sind zwei gegenüberliegende, parallele Seiten, wie im Bild zu sehen ist. Für paarweise parallele Seiten, also den Spezialfall eines Parallelogramms, geht es genauso.

myabba|abra

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9

11.10.2004, 20:34

sheep der besserwisser ;)

ich find ja meins anschaulicher, allerdings beziehe ich mich auf ein ähh gleichmäßiges rechteck glaub ich (der einfachheit halber)

Illuminat

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10

11.10.2004, 20:38

naj streber nun nich er weiß wo er suchen muss :D

btw wickipedia roxx hard :D

myabba|abra

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11

11.10.2004, 20:39

ich hab nix gesucht, habs selbst erarbeitet, sheep wohl auch :)

ZwerG_Serge

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12

11.10.2004, 20:57

RE: geometrie pros

Zitat

Original von Kali

Und zwar will ich beweisen können, das folgende Formel zur Berechnung von der Fläche eines Trapezes stimmt: "(a+b)/2*h"


Zitat

Original von Gabba Gandalf
Also ich würde die hier hernehmen:
1/2*(a+b)*h

:respekt:

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »ZwerG_Serge« (11.10.2004, 20:57)

Kali

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13

11.10.2004, 21:14

@ abrax
sry ich hatte mich verschrieben. ich meinte (a+c), also wenn man von einem Standart Trapez ausgeht, aber ich hatte ja eigntlich gesagt, das a und b Parallel zueinder sind, als kann b nicht kürzer sein. Tut mir leid für das Missverständnis, aber danke für den guten Willen :)

@sheep
Ich bin ein wenig verunsichert. Du sagst, dass das 2 Dreieck die Seite c beinhaltet, doch wenn man ein Trapez (2 seiten parallel) nimmt, kann c gar keine Seite des Dreieckes sein.
Ein Stück von a müsste wieder die seite seien. Also müsste man 2((e*h)/2) rechnen.
Ich weiß jetzt nich ob das stimmt was ich sage, aber um die Fläche eines Dreieckes zu bestimmen, gilt doch folgende Formel:" grundseite * Höhe /2" nur is die Höhe des Dreieckes nicht vorhanden. Nur "h" was, aber in diesem Fall eine Seite des Dreieckes ist und keine Höhe, oder?
Ich hoffe ich liege falsch, dann hätte ich jetzt die Lösung :D und wenn ich falsch liege, könntest du mir erklären warum es doch so ist?

Danke dir :) und danke für die mühe!

Sheep

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14

11.10.2004, 21:17

Zitat

Original von abraXas
sheep der besserwisser ;)

ich find ja meins anschaulicher, allerdings beziehe ich mich auf ein ähh gleichmäßiges rechteck glaub ich (der einfachheit halber)


Ich guck absichtlich NICHT, ob schon jemand fertig ist. Bei meinem Schildkrötentempo müsste ich dann in der Hälfte der Fälle mindestens eine halbe Seite wieder wegwerfen. :D

Bei den Dreiecken musst du garkeine Einschränkungen machen. Rechtwinklig sind sie auf jeden Fall, weil sie durch das Fällen eines Lotes entstehen. Die beiden Katheten (kürzere Seiten um dem rechten Winkel herum) müssen nicht gleichlang sein.

myabba|abra

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11.10.2004, 21:22

Zitat

Original von Kali
@ abrax
sry ich hatte mich verschrieben. ich meinte (a+c), also wenn man von einem Standart Trapez ausgeht, aber ich hatte ja eigntlich gesagt, das a und b Parallel zueinder sind, als kann b nicht kürzer sein. Tut mir leid für das Missverständnis, aber danke für den guten Willen :)


häh?
ob a,b,c,dackel oder hans is scheißegal =P
wir meinen das selbe
und wenn b nicht kürzer ist als a, hast dus entweder umgedreht oder ein rechteck ;)

Sheep

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11.10.2004, 21:25

Zitat

Original von Kali
@sheep
Ich bin ein wenig verunsichert. Du sagst, dass das 2 Dreieck die Seite c beinhaltet, doch wenn man ein Trapez (2 seiten parallel) nimmt, kann c gar keine Seite des Dreieckes sein.


Das ist richtig, c ist (normalerweise) nicht komplett Teil des Dreiecks. Genauso wie beim ersten Dreieck habe ich nur einen Teil von c genommen, nämlich g. Nochmal das Bild aus der Wikipedia...



Zieh von B senkrecht eine Strecke hoch, bis du auf c triffst. c wird dadurch in zwei Teile geteilt, der kleinere, rechte ist g. Das zweite Dreieck hat dann die Seiten h (eben konstruiert, zum anderen h nur parallverschoben), g und b.

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »Sheep« (11.10.2004, 21:26)

Kali

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11.10.2004, 21:33

Ja mir fällt grad auf, das die h gleichzeitig die Höhe und eine Seite ist :)

Das Bild ist ein Paralelogramm wenn ich mich nicht irre oder?
Kann glaube sein, das ein Trapez das selbe ist, aber bei mir sind nur 2 Seiten parallel. d ist nich prallel zu b. Hätte ich noch erwähnen sollen.

aba daraus ergibt sich ja eine andere Rechnung:

Dreieck1= (e*h)/2
Dreieck2= (e*h)/2
<=> 2((e*h)/2)
nun der Rechteck in der Mitte:

f*h

es gilt
f= a-2e
e= ?? da hängts jetzt bei mir...

aber is der rest soweit richtig?

so ein trapez mein ich

Dieser Beitrag wurde bereits 3 mal editiert, zuletzt von »Kali« (11.10.2004, 21:40)

plizzz

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18

11.10.2004, 21:37

Das Bild ist ein Trapez *wunder*. :D

Sheep

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19

11.10.2004, 21:47

Zitat

Original von Kali
Das Bild ist ein Paralelogramm wenn ich mich nicht irre oder?
Kann glaube sein, das ein Trapez das selbe ist, aber bei mir sind nur 2 Seiten parallel. d ist nich prallel zu b. Hätte ich noch erwähnen sollen.


Bei einem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten immer parallel. Bei einem Trapez sind mindestens zwei gegenüberliegende Seiten parallel, das Parallelogramm ist davon ein Spezialfall.

Zitat

aba daraus ergibt sich ja eine andere Rechnung:

Dreieck1= (e*h)/2
Dreieck2= (e*h)/2
<=> 2((e*h)/2)
nun der Rechteck in der Mitte:

f*h

es gilt
f= a-2e
e= ?? da hängts jetzt bei mir...


Für ein Parallelogramm ist der Ansatz erstmal richtig. f ist allerdings a - e, du ziehst ja auf jeder Seite a nur eine Strecke e ab.

e = a + f, diese Gleichung bringt uns aber nichts und wir brauchen sie sowieso nicht


Die Gesamtfläche berechnet sich dann so...

A = 2 * ( ( e * h ) / 2 ) + f * h
= e * h + f * h
= h ( e + f )
= h ( e + a - e )
= h * a

Diese Flächenformel ist ein Spezialfall von h * ( a + c ) / 2, also der Flächenformel für Trapeze. Denn a ist bei einem Parallelogramm genausolang wie c.

A = h * ( a + c) / 2
= h * ( a + a ) / 2
= h * 2a / 2
= h * a

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »Sheep« (11.10.2004, 21:48)

myabba|abra

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11.10.2004, 21:49

kali, glaub du hast paar mathematische verständnisprobleme und defizite in den fachausdrücken ;)

Sheep

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21

11.10.2004, 21:50

Zitat

Original von Kali
so ein trapez mein ich


Argh hättest du das nicht ein paar Sekunden früher posten können... Hmm viel ändert sich nicht, Moment.

Dein Ansatz war...

Dreieck1= (e*h)/2
Dreieck2= (e*h)/2
<=> 2((e*h)/2)
nun der Rechteck in der Mitte:

f*h

es gilt
f= a-2e
e= ??

Das ist alles richtig. Eine Strecke f musst du nicht einführen, die ist identisch mit c. e kann man formulieren als...

e = ( a - c ) / 2

Die Formel für den Flächeninhalt sieht dann so aus...

A = 2 * ( ( e * h ) / 2 ) + c * h
= e * h + c * h
= ( a - c ) / 2 * h + c * h
= h * ( ( a - c ) / 2 + c )
= h * ( a / 2 + c / 2 )
= h ( a + c ) / 2

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »Sheep« (11.10.2004, 21:58)

Kali

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22

11.10.2004, 22:30

ahh danke:)! Das genau was ich gebraucht habe. :) Vielen dank nochmal! Und auch an der abrax. Der es irgnwie kürzer gefasst hatte :D