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Tricky Mathe-Aufgabe

kOa_Borgg

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31

16.06.2009, 17:02

hab mal c++ quellcode rein gestellt. ist an sich ganz simpel das ding.

OLV_teh_pwnage_

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32

16.06.2009, 17:03

immer, da der igel immer schneller wird (von neutralen standpunkt aus gesehen

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »OLV_teh_pwnage_« (16.06.2009, 17:09)

kOa_Borgg

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33

16.06.2009, 17:08

eben nicht. Seine Geschwindigkeit in Relation zum Gesamtweg wird immer kleiner ;). Sie steigt zwar absolut, aber das nützt ihm wenig.

edit: und sein Anstieg wird immer kleiner. Das ist das Problem

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »kOa_Borgg« (16.06.2009, 17:10)

pitt82

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34

16.06.2009, 17:12

n_s_hase = s_hase + v;

Geschwindigkeit und Weg addiert?

kOa_Master

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35

16.06.2009, 17:13

denkfehler borgg:

das band ist 10m lang.
igel steht bei 1m.

das band dehnt sich aus auf 20m.
wo steht der igel dann?
richtig, bei 2m. nicht 1m. das hast du nicht beachtet.

und die geschwindigkeit des igels gegenüber der umgebung sinkt absolut gesehen, da die geschwindigkeitskomponente der dehnung gegen 0 geht.

man, lest doch was ich oben geschrieben habe -.-

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »kOa_Master« (16.06.2009, 17:14)

pitt82

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36

16.06.2009, 17:17

Aus Sicht des Igels ist dL immer gleich. Aus Sicht des Hasen dehnt es sich aus - wobei das für die Aufgabe nicht wichtig ist.

Fall1: u,v werden aus Sicht des Hasen gemessen: NIE

Fall2: u,v werden aus Sicht des Igels gemessen: auch NIE

Fall3: u aus Sicht Igels und v aus Sicht des Hasen: IMMER

kOa_Borgg

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37

16.06.2009, 17:19

@pitty. das passt schon. wenn ich die schritweitte 1s setze und die geschwindigkeit 1m/s ist...

@master: hab ich wohl beachtet. deswegen ja

Quellcode

 
1

(s_igel/s_hase) * v + u


und nicht einfach

Quellcode

 
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+ u


Der obere Term bildet genau das ab... oder hab ich jetzt ein Brett vorm kopf?

kOa_Master

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38

16.06.2009, 18:05

Zitat

Original von kOa_Borgg
@pitty. das passt schon. wenn ich die schritweitte 1s setze und die geschwindigkeit 1m/s ist...

@master: hab ich wohl beachtet. deswegen ja

Quellcode

 
1

(s_igel/s_hase) * v + u


und nicht einfach

Quellcode

 
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+ u


Der obere Term bildet genau das ab... oder hab ich jetzt ein Brett vorm kopf?


das ist allerdings eben falsch. bei diesem beispiel würdest du davon ausgehen, dass das band um immer den gleichen faktor ausgedehnt wird. in tat und wahrheit nimmt dieser aber immer mehr ab (und ist ganz sicher nicht v)

das war das, was ich mit dem hier beschrieben wollte:

Zitat

Die Gesamtlänge jedoch wid bei jedem Messpunkt um dL=sHase grösser und beträgt also L+n*dL mit n=Anzahl Sekunden.
Die Formel für die Dehnung lautet also
dL/(L+n*dL)
und geht für n -> unendlich gegen null.


kurz als zahlenbeispiel:

wenn der hase 5 meter macht und das band 5 meter lang ist, dann beträgt die dehnung 100%
ist das band aber schon 500 meter lang beträgt die dehnung nur noch 1% usw.

para

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39

16.06.2009, 18:39

Zitat

Original von pitt82
Aus Sicht des Igels ist dL immer gleich. Aus Sicht des Hasen dehnt es sich aus - wobei das für die Aufgabe nicht wichtig ist.

Fall1: u,v werden aus Sicht des Hasen gemessen: NIE

Fall2: u,v werden aus Sicht des Igels gemessen: auch NIE

Fall3: u aus Sicht Igels und v aus Sicht des Hasen: IMMER


So ists richtig.

jens

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40

16.06.2009, 18:43

wie könnt ihr euch so sicher sein, dass es IMMER so ist ?

klar, er wird immer schneller und am ende hat er im endeffekt eine etwas höhere geschwindigkeit als der hase (weil er dann geschwindigkeit u+v hat).

aber ich bin mir immer noch ziemlich sicher, dass man dafür erstmal die konvergenz der funktion untersuchen muss, welche man für den abstand rausbekommt. siehe z.B. summe(x = 0..unendlich) 1/ x^2. da wird immer was aufsummiert, aber unendlich groß wird die zahl dadurch nicht. bei 1/x wär das schon der fall... von daher hinkt die begründung, dass er den hasen irgendwann erreicht, nur weil er immer etwas schneller wird. oder hab ich einen denkfehler bzw. ist der vergleich nicht passend? )

bin grad leider an meinen eigenen physikaufgaben, sonst würd ich mich damit jetzt länger befassen. :D

para

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41

16.06.2009, 18:44

Zitat

Original von jens
wie könnt ihr euch so sicher sein, dass es IMMER so ist ?


Weils ichs ausgerechnet hab. Der Igel macht im Verhätnis zum Hasen logarithmisch an Boden gut.

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »para« (16.06.2009, 18:46)

pitt82

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42

16.06.2009, 19:29

Stellt euch doch einfach vor, dass ihr der Igel seid - nur auf das Band (nicht links und rechts) schaut - infinitesimal kleine Schritte macht und euch mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Die Dehnung des Gummibandes werdet ihr dann überhaupt nicht wahrnehmen sondern einfach nur eine Strecke von A nach B zurücklegen wobei B der Hase ist. (Fall3)

kOa_Borgg

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43

16.06.2009, 21:37

Zitat

Original von kOa_Master

Zitat

Original von kOa_Borgg
@pitty. das passt schon. wenn ich die schritweitte 1s setze und die geschwindigkeit 1m/s ist...

@master: hab ich wohl beachtet. deswegen ja

Quellcode

 
1

(s_igel/s_hase) * v + u


und nicht einfach

Quellcode

 
1

+ u


Der obere Term bildet genau das ab... oder hab ich jetzt ein Brett vorm kopf?


das ist allerdings eben falsch. bei diesem beispiel würdest du davon ausgehen, dass das band um immer den gleichen faktor ausgedehnt wird. in tat und wahrheit nimmt dieser aber immer mehr ab (und ist ganz sicher nicht v)

Das Band wird in jedem zeitschritt um die Summe v länger. Ich denke das ist unstrittig. v ist also kein Faktor, sondern ein Summand. Davon profitiert der Igel, je weiter er auf dem Band schon fortgeschritten ist. v wird durch die streckung überall gleichzeitig wirksam. Ist der Igel bei s_hase/2 wird er um v/2 davon profitieren. Was ist daran so schwer?

kOa_Borgg

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44

16.06.2009, 21:39

Zitat

Original von pitt82
Aus Sicht des Igels ist dL immer gleich. Aus Sicht des Hasen dehnt es sich aus - wobei das für die Aufgabe nicht wichtig ist.

Fall1: u,v werden aus Sicht des Hasen gemessen: NIE

Fall2: u,v werden aus Sicht des Igels gemessen: auch NIE

Fall3: u aus Sicht Igels und v aus Sicht des Hasen: IMMER


versteh ich nicht. kannst du mir den unterschied mal in formeln darstellen!? "aus sicht gemessen" find ich in dem fall irgendwie quatscht. jede relation kann man ins absolute übertragen. oder anders gefragt: was hab ich in meinem beispiel deiner meinung nach berechnet bitte?

jens

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45

16.06.2009, 22:34

Zitat

Original von pitt82
Stellt euch doch einfach vor, dass ihr der Igel seid - nur auf das Band (nicht links und rechts) schaut - infinitesimal kleine Schritte macht und euch mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Die Dehnung des Gummibandes werdet ihr dann überhaupt nicht wahrnehmen sondern einfach nur eine Strecke von A nach B zurücklegen wobei B der Hase ist. (Fall3)


das stimmt so nicht ganz. wenn er z.b. auf hälfte der strecke ist, merkt er die dehnung des bandes zur hälfte.


ich denke auch, dass er immer sein ziel erreichen wird, würds aber zwecks konvergenzbetrachtung trotzdem gerne mal in einer formel sehen.

kOa_Master

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46

16.06.2009, 22:47

Zitat

Original von kOa_Master
Dehnung allgemein: dL/L
sHase=v*t
dL=sHase
Gesamtlänge: L+n*sHase

Dehnung: sHase/(L+n*sHase)

geht für n -> unendlich gegen null.

d.h. wenn der Igel die konstante Geschwindigkeit u RELATIV ZUM BAND hat, diese Geschwindigkeit u grösser als die Dehnung ist für n->unendlich da Dehnung = 0.


Relativ zum Band drückt also genau diesen Fall 3 von Pitt aus.

Wo ist das Problem?

pitt82

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47

16.06.2009, 23:26

Zitat

Original von jens
das stimmt so nicht ganz. wenn er z.b. auf hälfte der strecke ist, merkt er die dehnung des bandes zur hälfte.


Wieso? Er bewegt sich immernoch mit der gleichen Geschwindigkeit - vor und hinter ihm is die hälfte des Weges - genau wie erwartet.

Das einzige was er merkt ist dass seine Größe in 'nem andern Verhältnis zur Entfernung steht - das is aber dem schlechten Beispiel verschuldet - denn prinzipiell sollte er von außen betrachtet auch breiter geworden sein :P

para

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48

16.06.2009, 23:28

Fall 3: u und v die Geschwindigkeiten im jew. Bezugssystem von Igel und Hase.

I(t) = Position Igel zum Zeitpunkt t, wenn Bandanfang im Ursprung, H(t) Pos. Hase.

Dann ist die Geschwindigkeit des Bandes in I(t) relativ zum Ursprung gleich I(t)/H(t)*v, die Geschwindigkeit vom Igel relativ zum Band in I(t) gleich u, also

I'(t) = I(t)/H(t)*v + u.

Lösung (Variablenseparation, Variation der Konstanten) ist mit H(t) = H(0) + v*t

I(t) = ( I(0) + H(0)*u/v*log(1+v/H(0)*t) ) * (1+v/H(0)*t),

wobei I(0), H(0) die Anfangswerte sind. Weiter

I(t)/H(t) = I(0)/H(0) + u/v * log(1+v/H(0)*t) -> unendlich mit t gegen unendlich, insbesondere ist irgendwann I(t) = H(t), immer vorausgesetzt, dass u,v>0.

Dieser Beitrag wurde bereits 2 mal editiert, zuletzt von »para« (16.06.2009, 23:33)

La_Nague

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49

17.06.2009, 13:16

Zitat

Original von kOa_Borgg
ich habs grad durch simuliert.

Die antwort lautet : NIE

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#include <iostream>
#include <fstream>

void igelhase()
{
	double v=0.51;	// geschwindigkeit hase
	double u=0.5;		// geschwindigkeit igel
	double u_abs;		// absolute geschwindigkeit igel
	double s_hase=0;	// weg hase
	double s_igel=0;	// weg igel (absolut)
	double n_s_hase;	// tmp 
	double n_s_igel;	// tmp
	int i=0;

	std::ofstream of("e:/haseigel.txt");
	
	of.precision(3);
	of << std::fixed;
	
	while(i++ < 5000000)
	{
		
		n_s_hase = s_hase + v;				//der weg des hasen = bandlänge (klar)
		
		if (s_hase>0)
		{
			u_abs = (s_igel/s_hase) * v + u;	//die absolute geschwindigkeit des igel ist die ausdehnung 
								//des bandes (in abhängigkeit der bereits auf dem band zurück gelegten wegstrecke.
		}						//plus seiner eigengeschwindigkeit, die er läuft
		else
		{
			u_abs = u;				//nur beim ersten schritt, weil sonst division durch 0
		}

		n_s_igel = s_igel+u_abs;			//aufaddieren
				
		s_hase = n_s_hase;				//ergebnisse für nächste runde speichern
		s_igel = n_s_igel;				//ergebnisse für nächste runde speichern

		if (i%1000==0)
			of << "sH:" << s_hase << "   sI:"<< s_igel << "   verh:"<< s_hase/s_igel << "  vI" << a_u <<"\n";
	}

	of.close();
}


http://de.wikipedia.org/wiki/Achilles_un…childkr%C3%B6te

Imp_eleven

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50

17.06.2009, 13:25

das ist aber nicht das gleiche la nague

kOa_Master

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51

17.06.2009, 13:39

Es ist sogar das gegenteil...der läufer ist schneller als die schildkröte. In unserem fall ist der hintere langsamer aber dafür auf einem band


Thx para, aber kannst du das resultat noch ein wenig genauer ausführen?

La_Nague

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52

17.06.2009, 13:40

Das Prinzip warum man bei einer schrittweisen betrachtung manchmal scheitert greift trotzdem.

kOa_Master

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53

17.06.2009, 13:43

Genau die leute, die in diesem thread infinitesimalrechnumg gemacht haben, kamen zum richtigen ergebnis!?

plexiq

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54

17.06.2009, 13:44

Ziemlich offensichtlich "immer"?

Wenn man die relative Position p des Igels auf dem Band als 0...1 beschreibt 0 = beim Start, 1 = beim Hasen.

Selbst wenn der Igel still steht bleibt p konstant. Bewegt sich der Igel, wird p offensichtlich höher. Und je höher p, desto stärker steigt p pro Zeiteinheit(!) (bei konstanten Lauf-Geschwindigkeiten von Hase und Igel).

Dh wenn sich der Igel bewegt ist seine relative Position am Band monoton steigend, und zwar mit zunehmendem p immer stärker steigend. p erreicht also offensichtlich irgendwann 1.

Dieser Beitrag wurde bereits 4 mal editiert, zuletzt von »plexiq« (17.06.2009, 13:46)

La_Nague

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55

17.06.2009, 13:56

Oh sorry ihr habt schon nen Ergebniss? ich hab nur gelaber gesehen und bisschen was übersprugen :p


Eigentlich sollte immer raus kommen mit der benötigten Zeit exponentiell mit dem Geschwindigkeitsverhältniss der beiden Kontrahenten wachsend.

plexiq

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56

17.06.2009, 14:00

Ich fürcht einfacher als in meinem letzten Post kann ichs nicht mehr erklärn ;)

kOa_Borgg

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57

17.06.2009, 14:04

rofl, ich war zu blöd meine ergebnisse zu lesen. der igel hatte den hasen so schnell eingeholt, dass ich dachte, der hase läuft lange weg... :stupid:

antwort lautet : immer :O

kOa_Borgg

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58

17.06.2009, 14:06

u=0.1
v=1.0

sH= Bandlänge
sI = Igelweg (absolut)
verh. = sH/sI
vI = Igelspeed absolut.

ausgabe alle 100 Schritte...

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sH:2900.00000000   sI:2479.45768458   verh:1.16961060  vI0.95495093
sH:3000.00000000   sI:2575.12496699   verh:1.16499201  vI0.95834166
sH:3100.00000000   sI:2671.12564448   verh:1.16055941  vI0.96162118
sH:3200.00000000   sI:2767.44895858   verh:1.15629956  vI0.96479655
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sH:12300.00000000   sI:12293.37135302   verh:1.00053920  vI1.09945296
sH:12400.00000000   sI:12403.35759578   verh:0.99972930  vI1.10026271
sH:12500.00000000   sI:12513.42448457   verh:0.99892719  vI1.10106596

Dieser Beitrag wurde bereits 3 mal editiert, zuletzt von »kOa_Borgg« (17.06.2009, 14:08)

nC_Raegan

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59

17.06.2009, 15:09

Aber ne Funktion des Weges vom Igel in Abhängigkeit von u und v (und einem Anfangsabstand? Ein 0m langes Band kann man schlecht strecken) haben wir noch nicht, oder? Wertetabellen vertrau ich hier nicht, hab ich ja schon begründet. Danke schonmal für eure Bemühungen und euer Interesse bisher!!

para

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60

17.06.2009, 15:17

Zitat

Original von Raegan
Aber ne Funktion des Weges vom Igel in Abhängigkeit von u und v (und einem Anfangsabstand? Ein 0m langes Band kann man schlecht strecken) haben wir noch nicht, oder? Wertetabellen vertrau ich hier nicht, hab ich ja schon begründet. Danke schonmal für eure Bemühungen und euer Interesse bisher!!


Zitat

Original von para
Fall 3: u und v die Geschwindigkeiten im jew. Bezugssystem von Igel und Hase.

I(t) = Position Igel zum Zeitpunkt t, wenn Bandanfang im Ursprung, H(t) Pos. Hase.

Dann ist die Geschwindigkeit des Bandes in I(t) relativ zum Ursprung gleich I(t)/H(t)*v, die Geschwindigkeit vom Igel relativ zum Band in I(t) gleich u, also

I'(t) = I(t)/H(t)*v + u.

Lösung (Variablenseparation, Variation der Konstanten) ist mit H(t) = H(0) + v*t

I(t) = ( I(0) + H(0)*u/v*log(1+v/H(0)*t) ) * (1+v/H(0)*t),

wobei I(0), H(0) die Anfangswerte sind. Weiter

I(t)/H(t) = I(0)/H(0) + u/v * log(1+v/H(0)*t) -> unendlich mit t gegen unendlich, insbesondere ist irgendwann I(t) = H(t), immer vorausgesetzt, dass u,v>0.

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