MastersForum

nee wir reden grad aneinader vorbei.

es ist schon klar dass sum[k^-s] keine potenzreihe ist.

du meinst wir haben 2 verschiedene sachen:
- die reihe über k^-s , die für positive s > 1 definiert ist
und
- ihre verallgemeinerung/fortsetzung, die zeta funktion.

ich meine:
- die reihe sum[k^-s] ist für positive s > 1 wohl definiert und hat dort eine potenzreihenentwicklung (wie immer diese aussehen mag)
- die zeta-fkt stimmt mit der "funktion" k^-s in dem vernünftigen bereich s >1 überein und ist dort durch diese definiert.

jetzt ist es doch egal ob ich sage
- "ich setze die zeta-fkt auf ganz C fort"
oder
- "ich setze sum[k-^s] auf ganz C fort"
hier gehts es im moment ja nur um den namen.

wenn ich sage ich setze sum[k^-s] auf ganz C fort, dann hat ja auch sum[k^-s} bei s = -1 einen wert, und ich kann schreiben
sum[k^-s] (s=-1) =....
also meiner meinung nach bleibt das ja das selbe.

mir geht es darum, dass es hier ja nicht auf den namen ankommt.

deswegen hatte ich gefragt ob denn die zeta-fkt auf C einen andere definition und damit eine andere potenzreihe hat wie meine summe über k^-s

wenn ich dein beispiel richtig verstanden habe ist der unterschied von deinem beispiel zu meinem beispiel, dass die "vernünftigen" definitions-/konvergenzbereiche deiner reihen sum -(z+1)^n und sum (-1)^n*(z-1)^n nicht übereinstimmen, bei der ersten ist es eine offene kreisscheibe um die -1 bei der zweiten eine offene kreischeibe um die 1 die sich in der 0 nahe kommen.

diese beiden funktionen scheinen die gleiche analytische fortsetzung (1/z) zu haben, woraus man (wie du richtig schreibst) nicht auf die gleichheit der ursprünglichen reihen zurückschließen kann. anders gesprochen: 1/z hat auf unterschiedlichen bereichen unterschiedliche potenzreihendarstellung.

zeta(s) und sum_k^-s stimmen aber auf einem konkruenten gebiet (s > 1)überein und sind dort somit auch gleich. wenn du mir zwei sich unterscheidende fortsetzungen von jeweils zeta und sum_k^-s geben kannst glaube ich dir, dass sie unterschiedlich sind.

um ehrlich zu sein fehlt es mir hier aber am wissen über funktionentheorie, bzw. theorie der analytischen fortsetzungen um das hier noch tiefergehend zu diskutieren.

wir können uns ja darauf einigen dass die summe 1 + 2 +3 +...im herkömmlichen sinne natürlich divergiert und auch keinen vernünftigen wert annimmt. man kann nur scheinbar durch einige verrenkungen divergenten reihen werte zuweisen (so wird es auch in den büchern geschrieben). die frage die ich ganz am anfang gestellt habe bleibt:

wie sinnvoll sind diese werte?

ganz offensichtlich kann man mit diesen werten haufenweise widersprüche erzeugen womit für mich die frage bleibt: was will man damit anfangen?