relativ einfache lineare algebra

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ZXK_Truespin

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Friday, October 24th 2008, 4:32pm

relativ einfache lineare algebra

hmmmm ich soll hier so eine kleinigkeit beweisen, hab aber irgendwie nicht die zündende idee! der professor meint, wir sollen das nicht über das charakteristische polynom argumentieren ..... aber wie denn sonst ?

kann das hier jemand lösen ?

müsste doch ein leichtes sein eigentlich...

Gilt RangA = k, so hat A höchstens k + 1 verschiedene Eigenwerte.

vielen dank

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Erg_Raider

Master

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Friday, October 24th 2008, 4:53pm

ich würde sogar sagen, dass es maximal k eigenwerte sind. zu jedem eigenwert gibt es einen eigenvektor. und es kann nicht mehr linear unabhängige eigenvektoren geben als dimensionen (k).

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kOa_Master

Sage

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Friday, October 24th 2008, 6:00pm

RE: relativ einfache lineare algebra

Quoted

Original von ZXK_Truespin
Gilt RangA = k, so hat A höchstens k + 1 verschiedene Eigenwerte.

vielen dank

das geht ganz sicher nicht O_o
hat erg schon begründet.

1 <= k <= n.
n dimension der matrix, k = anzahl eigenwerte...

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para

Trainee

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Friday, October 24th 2008, 6:15pm

Natürlich gehts, braucht man nur die Abbildung x->0, x in R anschauen.
Die Aussage mit k+1 stimmt, weil die Eigenräume zu Eigenwerten ungleich 0 auf sich selbst abgebildet werden.

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kOa_Master

Sage

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Friday, October 24th 2008, 6:35pm

Quoted

Original von para
Natürlich gehts, braucht man nur die Abbildung x->0, x in R anschauen.
Die Aussage mit k+1 stimmt, weil die Eigenräume zu Eigenwerten ungleich 0 auf sich selbst abgebildet werden.

weiter erläutern bitte

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Erg_Raider

Master

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Friday, October 24th 2008, 6:54pm

Quoted

Original von para
Natürlich gehts, braucht man nur die Abbildung x->0, x in R anschauen.
Die Aussage mit k+1 stimmt, weil die Eigenräume zu Eigenwerten ungleich 0 auf sich selbst abgebildet werden.

ok hier haben wir vielleicht unterschiedliche definitionen. bei uns ist 0 als eigenwert immer ausgeschlossen.

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kOa_Master

Sage

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Friday, October 24th 2008, 7:02pm

Quoted

Original von Erg_Raider

Quoted

Original von para
Natürlich gehts, braucht man nur die Abbildung x->0, x in R anschauen.
Die Aussage mit k+1 stimmt, weil die Eigenräume zu Eigenwerten ungleich 0 auf sich selbst abgebildet werden.

ok hier haben wir vielleicht unterschiedliche definitionen. bei uns ist 0 als eigenwert immer ausgeschlossen.

ich dachte das sei grundsätzlich so. aber gut, ich studier nicht mathe, von dem her keine ahnung...

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para

Trainee

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Friday, October 24th 2008, 7:07pm

Verwechselt ihr grad Eigenwert und Eigenvektor? Wäre absoluter nonsens 0 von den Eigenwerten auszuschließen.

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kOa_Master

Sage

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Friday, October 24th 2008, 7:11pm

nicht 0 als eigenwert ausschliessen, aber x=0.
oder willst du den nullvektor nehmen?

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Erg_Raider

Master

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Friday, October 24th 2008, 7:20pm

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Original von para
Verwechselt ihr grad Eigenwert und Eigenvektor? Wäre absoluter nonsens 0 von den Eigenwerten auszuschließen.

nein genau das meine ich.

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GEC|Napo

Sage

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Friday, October 24th 2008, 7:20pm

leute denkt mal nach rang ist nicht gleich größe der matrix....für rang k gibts bis zu k verschiedene eigenwerte und dann +1 für einen möglichen 0 eigenwert, der vom rang natürlich nicht erfasst wird.

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Erg_Raider

Master

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Friday, October 24th 2008, 7:34pm

@napo:
genau das ist aber irrelevant, wenn man 0 nicht als eigenwert zulässt.
wie schon gesagt, wir haben andere definitionen. bei uns wurde 0 von vorneherein als eigenwert ausgeschlossen. über den sinn dieser definition kann man streiten, ich sehe auch ein, dass man 0 zulässt, aber einen eigenvektor 0 dafür ausschließt. wir habens halt so gelernt, dann gibts keine schwierigkeiten

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ZXK_Truespin

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Friday, October 24th 2008, 10:57pm

jau genau so wollt ichs auch machen, aber wie sieht denn da ein beweis aus ? dann argumentiert man ja eigentlich doch wieder über char polynom

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GEC|Napo

Sage

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Saturday, October 25th 2008, 12:28am

Machs so, zeig das Eigenverktoren zu verschiedenen Eigenwerten linear unabhängig sind, daraus kann man die Behauptung leicht folgern.

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AtroX_Worf

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Saturday, October 25th 2008, 10:38am

Quoted

Original von para
Verwechselt ihr grad Eigenwert und Eigenvektor? Wäre absoluter nonsens 0 von den Eigenwerten auszuschließen.

!!!
Ansonsten gehe ich mit Napo's beiden Bemerkungen mit.

Stellt euch eine lineare Abbildung A vor. rang(A) zählt als dim(bild(A)) die Anzahl der Eigenwerte != 0. Die können alle höchstens verschieden sein, dazu ein Eigenwert = 0 => A ist singulär mit höchstens k+1 verschiedenen EWs. (eine zugehörige Matrix wäre also (k+1) x (k+1) groß und nicht k x k, denke hier liegt der Denkfehler bei den meisten -> auf Napo hören).