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Komplexe Zahlen

JorDan_23

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1

Monday, February 1st 2010, 5:12pm

Komplexe Zahlen

Hallo liebe Masteruser,

ich bins wieder mal mit einem neuen Problem. Wie das Tehma schon zeigt, dreht sich mein Problem nun um die komplexen Zahlen. Ich bin nun in der 12. Klasse und muss jetzt mein Fachreferat über komplexe Zahlen halten. Ich hab mir das Thema ausgesucht, da ich ein ziemlicher Mathe-Fan bin und ich gern Themen bearbeite, die in der Schule nicht durchgenommen werden. Ich hab natürlich Fragen, die sich mit ziemlich hoher Wahrscheinlichkeit noch vermehren werden in der nächsten Zeit. Hab heute mal in meine Formelsammlung geschaut und hät ein paar Fragen, ich hoff ihr könnt mir das erklären.

Unter dem Punkt, Polarform einer komplexen Zahl, steht:

z= |z| * ( cos ± + i sin ± )

Abkürzende Schreibweiseen:

z=|z| * E (±) = |z| cis ±
wobei E(±) = cis ± = cos ± + i sin ±.

Bei dem muss ich ehrlich gestehen, da ich mir nichts unter E und cis ± vorsstellen kann. Könntet ihr mir vielleicht erklären was das sein könnte?

Unter dem Punkt, Umrechnungsformeln, steht:

|z|= Wurzel aus (x² + y²)
für x außer 0 gilt: tan ± = y/x
für x gleich 0 gilt: ±= 1/2 À wenn y>0, À= pi
±= 3/2 À wenn y<0.

Das mit den konjugierten Paare der komplexen Zahl versteh ich auch nicht wirklich. Wär super, wenn einer das erklären könnte.

Das wärs bis jetzt von meiner Seite, ich werde weiter reserchieren und euch demnächst mit fragen überschütten. Wär auch super, wenn jemand von euch der sich mit dem Thema beschäftigt, mir zeigen würde was ich in das Referat einbaun sollte oder nicht. Bin mir nämlich nicht sicher was relevant ist und was eher vernachlässigbar ist.

Bedanke mich schon mal im Vorraus um eure Hilfe und freue mich schon auf eure Antworten.

Mit freundlichen Grüßen,
Marco.
gewinne wenn du kannst
verliere wenn du must
aber kapituliere nie

kOa_Master

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2

Monday, February 1st 2010, 5:19pm

das E da soll heissen eulersche zahl, sprich e^(i*x) was ebenfalls dasselbe ist wie cis(x) = cos(x) + i * sin(x)

die zu a + i*b konjugiert komplexe zahl ist a - i*b
sprich das vorzeichen des komplexen teils ändert sich. beides zusammen ist ein konjugiert komplexes paar
die beiden miteinander multipliziert ergeben a^2 + b^2, eine relle zahl.

Tsu_ShiNe_

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3

Monday, February 1st 2010, 5:21pm

Wenn ich mir die Age-Skillkurve von Napo ansehe, seit er Mathe studiert kann ich dir nur davon abraten, dich näher mit solchen Themen zu beschäftigen!

nC_Raegan

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4

Monday, February 1st 2010, 5:22pm

und a^2+b^2=z^2 Also das Quadrat vom Betrag, guck mal bei Wiki, da steht das einfach.

pitt82

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5

Monday, February 1st 2010, 5:25pm

Also irgendne schreibweis mit "cis" kenne ich auch nicht. Aber mit dem E ist sicher die eulersche Zahl gemeint. Die schreibweise wäre dann:

z=|z| * e ^ (+-i*phi)

Das phi ist dabei der Winkel. Mal dir am besten mal ein zweidimensionales Koordinatensystem auf mit reeller (üblich horizontaler) und imaginärer (vertikaler) Achse und trage darin eine komplexe Zahl als Zeiger ein. Konjugiert komplex ist einfach eine an der reellen Achse gespiegelte komplexe Zahl. Die Länge des Zeigers ist übrigens |z|. Der Winkel mit der reellen Achse das phi.

edit: Bild von Wikipedia, r=|z|

This post has been edited 1 times, last edit by "pitt82" (Feb 1st 2010, 5:31pm)

GEC|Napo

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6

Monday, February 1st 2010, 5:33pm

Quoted

Original von pitt82
Also irgendne schreibweis mit "cis" kenne ich auch nicht. Aber mit dem E ist sicher die eulersche Zahl gemeint. Die schreibweise wäre dann:

z=|z| * e ^ (+-i*phi)

Das phi ist dabei der Winkel. Mal dir am besten mal ein zweidimensionales Koordinatensystem auf mit reeller (üblich horizontaler) und imaginärer (vertikaler) Achse und trage darin eine komplexe Zahl als Zeiger ein. Konjugiert komplex ist einfach eine an der reellen Achse gespiegelte komplexe Zahl. Die Länge des Zeigers ist übrigens |z|. Der Winkel mit der reellen Achse das phi.

edit: Bild von Wikipedia, r=|z|



So ists wohl die einfachste und anschaulichste Erklärung, auch für deine Mitschüler.
@Schein: Könnte wohl damit zusammenhängen, dass ich seit dem nie wieder regelmäßig gespielt hab.

Tsu_Trude

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7

Monday, February 1st 2010, 6:20pm

@Kanut, hab Windows neu installiert und keine AoC-CD hier :D

kann mich also voll aufs Studium konzentrieren!

Tsu_Cortes

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8

Monday, February 1st 2010, 7:11pm

Quoted

Original von Tsu_Trude
@Kanut, hab Windows neu installiert und keine AoC-CD hier :D

kann mich also voll aufs Studium konzentrieren!


Da gehts mir ähnlich. :D

Tsu_ShiNe_

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9

Monday, February 1st 2010, 7:31pm

Quoted

Original von Tsu_Trude
@Kanut, hab Windows neu installiert und keine AoC-CD hier :D

kann mich also voll aufs Studium konzentrieren!


sauber, dann sieh zu dass du es bis april wieder am start hast damit wir durchstarten können ^^

JorDan_23

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10

Monday, February 1st 2010, 7:46pm

Klasse ! Hab grad was langes gepostet und es wurde nicht angenommen.... alles nochma ._..

Vielen Dank erst mal für die Antworten, sind sehr hilfreich und so langsam versteh ich auch das Prinzip. Was hat das eigentlich mit dem E auf sich. Wieso gilt E= e ^ (+-i*phi). Wurde das so definiert oder hat das auch einen Sinn?

Also bei den komplexen Zahlen gilt i²=-1
Das heißt die Lösung bei x²=-1 ist x=i oder?

Bei x²=-5 Lösung : x=i* 5^0,5
Bei x^4=-10 Lösung: x= i^0,5 * 10^^0,25

Hab ich das also richtig verstanden?

Dann gibts noch so Formeln:
i³ = -i ; i^4 = 1 ; i^-1= -i ; i^-2= -1 ; i^-3 = i ; i^-4 = 1

oder:

i^(4k) = 1
i^(4k+1) = i
i^(4k+2) = -1
i^(4k+3) = -i

Das schaut mir ziemlich nach triogonemtrischen Formeln aus, hat das was damit zu tun?

OLV_teh_pwnage_

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11

Monday, February 1st 2010, 8:15pm

cos(a) + jsin(a) = e^ja weil:

cos(a) = 1- (a^2)/(2!) + (a^4)/(4!) usw
sin(a) = a - (a^3)/(3!) + (a^5)/(5!) usw

nimmt man jetzt cos(a)+j*sin(a), ersetzt alle - durch +j² ergibt sich genau die reihenbildung für e^(ja)

e^x = 1+x+(x²/2!)+(x³/3!) usw

This post has been edited 1 times, last edit by "OLV_teh_pwnage_" (Feb 1st 2010, 8:22pm)

pitt82

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12

Monday, February 1st 2010, 8:22pm

Uh ein E-techniker :P (finde j auch schöner als i - aber Mathematiker iwie nich ^^)

GEC|Napo

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13

Monday, February 1st 2010, 8:28pm

(-i)² = -1, auch hier gibt es zwei Lösungen wie im reellen. Diese ganzen "Formel", die du da angegeben hast sind sofort klar, wenn du erstmal die komplexe Multiplikation in Polarkoordinaten verstanden hast, im Grunde werden nur Winkel addiert und Längen multipliziert.

AtroX_Worf

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14

Monday, February 1st 2010, 8:29pm

Quoted

Original von pitt82
Uh ein E-techniker :P (finde j auch schöner als i - aber Mathematiker iwie nich ^^)

Bei i hat man ja wenigstens bei bestimmten Sachverhalten eine bestimmte "Grundvorsichtigkeit", wenn man es als Laufindex verwendet - bei j aber überhaupt nicht mehr. Deswegen wäre es enorm gefährlich, in der Mathematik plötzlich j für die imaginäre Einheit zu nehmen.

Manchmal sieht man auch ein iota für die imaginäre Einheit, quasi ein i ohne i-Punkt. Gewöhnungsbedürftig, aber gar nicht mal so schlecht.

€dit:

Quoted

Original von JorDan_23
Das heißt die Lösung bei x²=-1 ist x=i oder?

nein
x \in {i, -i}, da i² = -1 und (-i)² = (-1)²*i² = 1 * (-1) = -1

Quoted

Original von JorDan_23
Bei x²=-5 Lösung : x=i* 5^0,5

=> x_1 = i*5^0,5, x_2 = -i*5^0,5

Quoted

Original von JorDan_23
Bei x^4=-10 Lösung: x= i^0,5 * 10^^0,25

nein, immer langsam. Erstmal die Quadratwurzel ziehen, dann bekommst du 2 Ergebnisse. Dann aus beiden wiederum die Quadratwurzel ziehen, dann bekommst du 4 unterschiedliche Ergebnisse.

Merke: Jedes Polynom über den komplexen Zahlen vom Grad n (d.h. n ist die höchste Potenz, hier n=4) zerfällt in genau n Nullstellen. Diese Nullstellen können manchmal "übereinander" liegen, d.h. sie kommen mehrfach vor. Das ist wie bei x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 <=> x_1 = x_2 = 2
Hier kommt die Nullstelle 2 auch 2 mal vor.

Quoted

Original von JorDan_23
Das schaut mir ziemlich nach triogonemtrischen Formeln aus, hat das was damit zu tun?

Ja, wegen der Eulerschen Identität.

This post has been edited 2 times, last edit by "AtroX_Worf" (Feb 1st 2010, 10:32pm)

kOa_Master

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15

Monday, February 1st 2010, 9:11pm

oh man worf, dich hätt ich nicht als nachhilfelehrer empfohlen und wenn du noch so klug bist^^

AtroX_Worf

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16

Monday, February 1st 2010, 9:17pm

Quoted

Original von kOa_Master
oh man worf, dich hätt ich nicht als nachhilfelehrer empfohlen und wenn du noch so klug bist^^

d.h.?
€dit:
ok geklärt ;)

This post has been edited 1 times, last edit by "AtroX_Worf" (Feb 1st 2010, 9:32pm)

Snaile

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17

Monday, February 1st 2010, 9:24pm

Dass er Dich nicht als Nachhilfelehrer empfehlen würde, auch wenn Du noch so klug bist.

NaikoN

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18

Monday, February 1st 2010, 9:37pm

RE: Komplexe Zahlen

Quoted

Original von JorDan_23
(...)und ich gern Themen bearbeite, die in der Schule nicht durchgenommen werden. (...)


ich hat komplexe zahlen in der schule :)

freu dich schon mal auf die mathevorlesungen im 1. sem wenn du einer von 5% bist die bei komplexen zahlen nur chilln und der rest nix checkt :D

This post has been edited 1 times, last edit by "NaikoN" (Feb 1st 2010, 9:39pm)

_Icedragon_

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19

Monday, February 1st 2010, 10:19pm

für alle sehr guten Mathematiker gilt: Sie sind keine guten Lehrer.^^

MfG_Chrisma

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20

Monday, February 1st 2010, 10:26pm

Quoted

Original von _Icedragon_
für alle sehr guten Mathematiker gilt: Sie sind keine guten Lehrer.^^


deshalb bist du'n guter mathelehrer? :bounce: okay war zu einfach , muss irgendwie sein^^

habs jetzt diese (mein erstes) semester zum ersten mal gehört und fands nicht so schwer, hatte ne gute ! Dozentin! und ne gute Übung. aber findst jetzt nicht so super spannend als thema.

_Icedragon_

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21

Monday, February 1st 2010, 10:40pm

Quoted

Original von MfG_Chrisma

Quoted

Original von _Icedragon_
für alle sehr guten Mathematiker gilt: Sie sind keine guten Lehrer.^^


deshalb bist du'n guter mathelehrer? :bounce: okay war zu einfach , muss irgendwie sein^^

habs jetzt diese (mein erstes) semester zum ersten mal gehört und fands nicht so schwer, hatte ne gute ! Dozentin! und ne gute Übung. aber findst jetzt nicht so super spannend als thema.

Sollte das jetzt ne Fangfrage sein?
dein Schluss ist auf jeden Fall überhaupt nicht logisch. ;)

welche Themen findest du denn jetzt spannender? meine Favoriten sind zur Zeit die Integrationen, die sind geil. 8) :bounce:

GWC|lazy

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22

Monday, February 1st 2010, 10:45pm

RE: Komplexe Zahlen

Quoted

Original von NaikoN

Quoted

Original von JorDan_23
(...)und ich gern Themen bearbeite, die in der Schule nicht durchgenommen werden. (...)


ich hat komplexe zahlen in der schule :)

freu dich schon mal auf die mathevorlesungen im 1. sem wenn du einer von 5% bist die bei komplexen zahlen nur chilln und der rest nix checkt :D


wo ja komplexe zahlen soooo das schwere thema sind :respekt:

Imp_eleven

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23

Monday, February 1st 2010, 10:56pm

komplexe zahlen wurden glaubs in einer vorlesungsstunde eingeführt bei uns^^
hatte das nie in der schule gelernt. wenn man den polarkreis mal begriffen hat, ist das ganze nur noch halb so wild.

und als elektrotechniker tanzen diese i und j täglich durchs leben:)

La_Nague

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24

Monday, February 1st 2010, 11:08pm

komplexe Zahlen haben eh den falschen namen, eigentlich müssten sie einfache Zahlen heissen, in ihnen ist vieles simpler.

_Icedragon_

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25

Monday, February 1st 2010, 11:17pm

Quoted

Original von La_Nague
komplexe Zahlen haben eh den falschen namen, eigentlich müssten sie einfache Zahlen heissen, in ihnen ist vieles simpler.


z.B. Potenzen ... -
















nicht!

AtroX_Worf

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26

Monday, February 1st 2010, 11:22pm

Quoted

Original von _Icedragon_
meine Favoriten sind zur Zeit die Integrationen, die sind geil. 8) :bounce:

Was denn da genau?

[AA]Hawk

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27

Monday, February 1st 2010, 11:31pm

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wenn man den polarkreis mal begriffen hat


:love:

_EA_Dúnedain

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28

Tuesday, February 2nd 2010, 9:32am

komplexe Zahlen hatten wir in der 11. Klasse

kOa_Master

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29

Tuesday, February 2nd 2010, 10:19am

Quoted

Original von La_Nague
komplexe Zahlen haben eh den falschen namen, eigentlich müssten sie einfache Zahlen heissen, in ihnen ist vieles simpler.


naja ;)
das würd ich jetzt nicht unterstützen - ich fand/finde komplexe analysis ziemlich saumühsam^^ da rechne ich lieber mit reellen zahlen und hab schon genug probleme :P

NaikoN

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30

Tuesday, February 2nd 2010, 10:59am

da hat der schweizer wieder mal seine extrawurst 8)