Mathe. Extremwertaufgaben.

HarLe

Professional

Posts: 1,244

Location: ---

Occupation: Ger

1

Monday, May 24th 2004, 7:15pm

Hi. ich hab da mal nen prob. ich bekomme diese aufgabe einfach nit hin.

Der graph der funktion fa(x)=-x²+a schließt mit der x-Achse eine fläche ein und dieser fläche soll ein Achsensymetrisches Rechteck maximalen Flächeninhalst eingeschrieben werden.
b) Wie ist a zu wählen, damit das Rechteck ein Quadrat ist?

Könnt ihr mir vielleicht helfen.

Brächte Extremalfunktion und nebenbedingung.

Wenn nit zu viel noch Zielfunktion.

THx. MFG HarLe

Go to the top of the page

myabba|abra

Sage

Posts: 4,305

Location: Regensburg

Occupation: GER

2

Monday, May 24th 2004, 7:51pm

die Formel für die Fläche is doch recht leicht:
die Länge ist der x-wert und die höhe fa(x).
Die Gleichung lautet also
2x*fa(x)=2x*(-x²+a)= -2x³+2xa

Ableiten, Nullsetzen, nach a auflösen, fertig

Go to the top of the page

HarLe

Professional

Posts: 1,244

Location: ---

Occupation: Ger

3

Monday, May 24th 2004, 7:58pm

Hmm bei uns war das immer noch mit extremalfunktion und nebenbedingung.

Go to the top of the page

myabba|abra

Sage

Posts: 4,305

Location: Regensburg

Occupation: GER

4

Monday, May 24th 2004, 8:02pm

isses ja auch, wenn du es ableitest-nullsetzt berechnest du einen lokale hochpunkt (im unendlichen wird das rechteck natürlich immer größer)

Go to the top of the page

HarLe

Professional

Posts: 1,244

Location: ---

Occupation: Ger

5

Monday, May 24th 2004, 8:08pm

Achso. und wie ist das dann fürs quadrat ? ^^ ich versuch das einfach mal mit deinem ansatz. aber schonmal thx.

Go to the top of the page

Der_Zorn_Gottes

Master

Posts: 1,948

Occupation: GER

6

Monday, May 24th 2004, 8:10pm

Was Abraxas gepostet hat, ist die Extremalfunktion - damit berechnest du, wann das Rechteck am größten ist. Du erhältst x in Abhängigkeit von a.
Als Nebenbedingung hast du dann noch dass das ein Quadrat sein muß, also 2*x = fa(x). Da setzt du dann dein x(a) aus der Extremalgleichung ein und löst nach a auf.

Go to the top of the page

HarLe

Professional

Posts: 1,244

Location: ---

Occupation: Ger

7

Monday, May 24th 2004, 8:56pm

Jo super danke. dann werde ich morgen mal schauen ob es richtig ist und

und schonmal thx das ihr mir weiter geholfen habt.

Go to the top of the page

HarLe

Professional

Posts: 1,244

Location: ---

Occupation: Ger

8

Monday, May 24th 2004, 9:08pm

Hmm hab das dann jetzt weitergemacht, aber mir kam nur mist raus. Könnt ihr mir das nochmal nen bißchen erklären.

Und die einzelnen bedingungen aufschreiben.
Bei mir klappt das nit richtig. -_-

Go to the top of the page

myabba|abra

Sage

Posts: 4,305

Location: Regensburg

Occupation: GER

9

Monday, May 24th 2004, 9:18pm

ableitung
f'a(x)=-6x²+2a
nullsetzen
-2(3x²-a)=0
3x²-a =0
x² = a/3
x = WURZEL(a/3)
f''a(x)= -12x+2
f''a(WURZEL{a/3}) = -12*WURZEL(a/3) + 2
muss < 0 sein für Hochpunkt
=> Hochpunkt für a > 0

die nebenbedinung machst du mal selbst

This post has been edited 1 times, last edit by "mgd_abraXas" (May 24th 2004, 9:19pm)

Go to the top of the page

Der_Zorn_Gottes

Master

Posts: 1,948

Occupation: GER

10

Monday, May 24th 2004, 9:24pm

2x*fa(x)=2x*(-x²+a)= -2x³+2xa

ist deine Extremalgleichung. Das ist einfach das Produkt der beiden Seiten des Rechtecks das unter der Parabel liegt.
Das soll maximal werden, also muß die Ableitung = 0 sein.
-6x²+ 2a = 0

-> x² = 1/3 a

Die Nebenbedingung liefert: 2*x = fa(x). (das Rechteck muß ja ein Quadrat sein).

Da setzt du jetzt das x von oben ein:

2*[(1/3)a]^1/2 = -1/3 a +a

2*(1/3)a = 2/3 a quadrieren
4 *1/9a = 4/9 a²
-> a=3

This post has been edited 1 times, last edit by "Der_Zorn_Gottes" (May 24th 2004, 9:39pm)