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Matherätsel

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MaxPower

Sage

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Thursday, March 4th 2004, 4:41pm

Matherätsel

Hi,

dass ist weder meine hausaufgabe noch sonstwas, einfach ein Matherätsel, bei dem ich den Lösungsweg nicht finde.


Quoted

Als ich letzte Woche ein Buch mit einem Hunderteuroschein bezahlt hatte, stellte ich zu Hause fest,
dass mir die Kassiererin doppelt soviel und noch fünf Cent mehr an Wechselgeld gegeben hatte, als
mir zustand. Offensichtlich hatte sie den Eurobetrag mit dem Centbetrag des Wechselgeldes
vertauscht. Wie teuer war das Buch?


Ansatz ist :

du hast euro (e) und cent (c) und es gilt:
100c + e = 2 * ( 100e + c ) + 5

die 100 verhindern, dass ich die ganze zeit mit häßlichen kommazahlen verhindern muss

daraus ergibt sich:
e + 100c = ( 2c + 5 ) + 100 * 2e


Lösung ist :
68,37€


Mit Brute Force kann ich einen Algorithmus schreiben, der in C und PHP die lsöung ausspuckt, dazu mach ich 2 schleifen die gehen alle möglichkeiten durch und am ende stehst ergebnis da.

Aber wie löse ich das mathematisch.

thx

cya max

Sheep

Sage

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2

Thursday, March 4th 2004, 5:52pm

Hmm die nötige zweite Gleichung habe ich auch nicht gefunden, die 100€ Gesamtpreis nützen einem nicht allzu viel. Aber ich habe das ganze in eine vernünftige Form zum Herumprobieren gebracht...

98*C = 199*E + 5

Hier sieht man, dass der Cent-Betrag mehr als doppelt so hoch sein muss wie der Euro-Beitrag, aber nicht allzuviel. Da kommen wahrscheinlich nur zweistellige Faktoren auf beiden Seiten in Frage (in der Rechnung unten allerdings nicht beachtet). Die linke Seite wird automatisch gerade (da mit gerader Zahl multipliziert), die rechte Seite hingegen braucht dann einen ungeraden Euro-Wert, um zusammen mit +5 gerade zu werden.

Damit lässt sich die Suche schon ordentlich einschränken:

1) C > 2*E
2) C < 100 (zusammen mit 1) : E < 50)
3) E ungerade (zusammen mit E < 50 heisst das noch 25 Möglichkeiten)

Für E = 49 kann C höchstens 99 sein.
Für E = 47 nur 95, 96, 97, 98 oder 99, also jedes Mal vier neue Möglichkeiten.

Die Summe 1 + 5 + 9 + 13 + ... + 97 lässt sich zusammenfassen zu -3 + 4 * (25² + 25) / 2, also nur noch 1297 Möglichkeiten. Beim reinen Brute Force kommst du dagegen auf 10.000 verschiedene Möglichkeiten.

Wenn ich keinen Rechner zur Hand hätte, würde ich bei C = 50 oder E = 50 anfangen, die Umgebung untersuchen und schauen wie sich das ganze verhält, um dann kleine oder grössere Sprünge in Richtung Ergebnis zu machen.

This post has been edited 1 times, last edit by "Sheep" (Mar 4th 2004, 5:59pm)

Imp_Vmax_

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Thursday, March 4th 2004, 7:58pm

da man hier nur 2 Gleichungen und eine Ungleichung aufstellen kann, aber man 3 Variablen zu lösen hat, gibts wohl keinen eindeutigen mathematischen Lösungsansatz sondern lediglich nen numerischen ;)

(Preis des Buches) x = 100 - (100e+c)
100c+e=2*(100e+c)+5
und
100e+c < 100

DyNaMiTe

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Thursday, March 4th 2004, 8:55pm

jo die Aufgabe lässt sich nicht mathematisch lösen

Duke_Luke

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5

Saturday, March 6th 2004, 10:54am

Da es eine eindeutige Lösung gibt, muss sich die Aufgabe meines Erachtens auch mathematisch lösen lassen. Ich denke, die Aufgabe beschränkt sich auf folgendes Problem:

x=2y+0,05 (Gleichung 1)
x =<>= y (Gleichung 2 --> Vertauschung EUR(Cent)

Dummerweise hab ich gerade keine Ahnung, wie man dieses Vertauschen mathematisch formulieren könnte...

Ich arbeite mal daran, denn ich finde das ziemlich spannend ;)

Duke_Luke

MaxPower

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Saturday, March 6th 2004, 12:38pm

Es gibt eine Lösung, falls jmd interesse hat poste ich es, ansonsten knobelt weiter.

Ich selbst bin auch nicht von alleine draufgekommen.

Ein Tip :

da steht

e + 100c = ( 2c + 5 ) + 100 * 2e

und nicht

e + 100c = ( 2c + 5 ) + 200 *e

;)

cya max

hiigara

Sage

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7

Saturday, March 6th 2004, 1:08pm

.

This post has been edited 1 times, last edit by "hiigara" (Nov 27th 2009, 9:57am)

Mabuse

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Saturday, March 6th 2004, 2:28pm

(100c - (2c + 5)) / 199 = e

Für e in die Gleichung einsetzen:

e + 100c = (2c +5) + 100 * 2e

(100c - (2c + 5)) / 199 +100c = (2c + 5) + 100 * 2 ((100c - (2c + 5)) / 199)

Sollte doch so gehen... leider leider, bin ich noch nicht weiter, wollte mal fragen ob irgendjemand Einwände hat ?

Mabuse

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9

Saturday, March 6th 2004, 2:52pm

Mist, da kommt bei mir aber nur Kot raus... ^^

Im endeffect 0 = 0
(oder bin ich doof)

Jetzt guck ich mir das ganze nochmal von vorne an... ?(

Bin ja auch kein Schüler mehr :P

Mabuse

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10

Saturday, March 6th 2004, 3:02pm

mal eine frage:

Wie kommst Du von

2 (100e + c) +5

auf

(2c + 5) + 200e ? ? ? ?

es müsste doch heissen:

200e + 2c + 5

(ohne irgendeine Klammer - was alles andere auch beeinflusst)

Mabuse

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11

Saturday, March 6th 2004, 3:09pm

(98 c - 5) / 199 = e

in die obere Gleichung einsetzen:

100c + e = 200 e + 2c + 5

100c + (98c-5)/199 = 200 (98c-5)/199 + 2c + 5

Mal sehen was rauskommt ^^

Mabuse

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12

Saturday, March 6th 2004, 3:20pm

kommt auch nur Kot raus ... ich habs einfach nicht drauf ;(

Vielleicht geh ich die Sache auch falsch an, oder bin zu blöd oder *was weiß ich*

Wie gehts ?

Mabuse

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Saturday, March 6th 2004, 3:57pm

mmm, mir fällt grad auf, das mein Lösungssystem nicht viel taugt...

.. hehe, selbst bei 5x + y = 90

könnte man für y = 90 - 5x einsetzen

5x + 90 - 5x = 90
<=>
90 - 5x = 90 - 5x

und das problem hab ich schon die ganze Zeit... ^^
Jetzt werde ich mir mal ein altes Mathbuch suchen....

Mabuse

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Saturday, March 6th 2004, 4:07pm

Ach... (siehe 2ter post von Sheep) so weit waren wir ja schon... :rolleyes:

Mabuse

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Saturday, March 6th 2004, 5:38pm

Bevor ihr euch jetzt totlacht - ja ich such mittlerweile auch eine 2te Gleichung ^^

Mabuse

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Saturday, March 6th 2004, 5:57pm

ok -

jämmerlicher Versuch einer 2ten Gleichung:

100 = e + c

(Einhundert = Euro + cent)


Eingesetzt und aufgelöst ergibt das für

C = 67.02

E = 32 . 9


Da die beiden Beträge vertauscht wurden, vertausche ich sie auch... (zieh irgendetwas an den Haaren herbei ^^)

== 67.33 Euro


leider sollte ja 68.37 herauskommen ... naja
wird aber mal Zeit das irgendwer das ganze hier auflöst :bounce:

MaxPower

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Saturday, March 6th 2004, 5:58pm

da steht doch "und 5 cent mehr" ^^

Mabuse

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18

Saturday, March 6th 2004, 6:07pm

jha war sowieso Kot - - ah....... 100.05 ???

testen

Mabuse

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19

Saturday, March 6th 2004, 6:18pm

glaub nich...

aber vielleicht doch etwas in der Richtung....
(hab schon mit 99.95 versucht aber bringt auch nichts)

evtl die 0.05 aufschlagen oder

100 = e + (c + 5)

oder so... komm gleich wieder...

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Mabuse

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20

Saturday, March 6th 2004, 9:26pm

Gleichung1: gegeben

Gleichung2: 100 = e + c

Ergebnisse vertauschen und 5 cent (bei den cents) dazu -

nachdem Max mich darauf freundlich hingewiesen hatte ^^

*schäm* - aber ich bin ja auch sooooo übernächtigt ^^

(Und wenns das nicht ist - mir egal :P )

This post has been edited 1 times, last edit by "Mabuse" (Mar 6th 2004, 9:27pm)

Mabuse

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21

Saturday, March 6th 2004, 10:07pm

Boah, irgendwie gefällt mir das Ergebniss nicht.

entweder erhält man 67.02 oder 66,97 für e

Es sollten aber 68 sein - also irgendetwas ist falsch. ?(

Mabuse

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22

Saturday, March 6th 2004, 10:39pm

ey, ich glaub das war alles Bullshit ;(

zecher_grauen__

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23

Monday, March 8th 2004, 12:14am

ich versteh eure ansätze überhaupt nicht ^^

sagt mal meinen fehler:

x=Preis
y=eigentliches restgeld
z=bekommenes geld

-------------------------------------------

100€-x=y

z=2*y+0,05
->y=(z-0,05)/2

I. gleichung: 100-x=(z-0,05)/2

dann hat die verkäuferin ja den centbetrag mit euro betrag verwechselt oder umgekehrt? was heisst das? das sie statt 10cent 10 €rausgegeben hat?

MaxPower

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24

Monday, March 8th 2004, 12:36am

statt 12 euro 20 gibt sie 20 euro 12 raus

Mabuse

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25

Monday, March 8th 2004, 12:41am

suchen tun wir ja nur X.
Das mit dem Vertauschen wäre also dann egal ... (hoffentlich)

Sieht aber schon ganz nett aus.


bzw. so wollte ich (und andere siehe Duke_Luke) es ja auch (mal) machen... aber dann fehlt ja wieder eine 2te Gleichung.

Gibt es denn einen mathematischen Weg ? Wo hast Du die Aufgabe/Rätsel her ?

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MaxPower

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Monday, March 8th 2004, 12:49am

Quoted


100c + e = 2 * ( 100e + c ) + 5


e + 100*c = 2c - 95 + 100 + 100*2e ist rechnerisch genau das gleiche, da 100 - 95 = 5

jetzt kommt's: trick 17 mit ansage
e + 100+c = 2c - 95 + 100*(2e + 1)

==>
e = 2c - 95
c = 2e + 1

==>
e = 2*(2e + 1) - 95
e = 4e + 2 - 95
e = 4e - 93
-3e = -93
3e = 93
e = 31 ==> c = 2*31 + 1 = 63

das restgeld ist also 31,63

31,63 * 2 = 63,26
63,62 + 0,05 = 63,31

100 - 31,63 = 68,37

Mabuse

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27

Monday, March 8th 2004, 12:55am

Der HundertEuroschein hat aber doch eine Bedeutung..

... und zwar im Bezug auf das Wechselgeld.

Wäre es eine anderer Betrag als 100 gewesen, wäre das Wechselgeld ebenfalls anders gewesen -

also muss die 2te Gleichung auf jeden Fall auf die "100" enthalten.

Mabuse

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28

Monday, March 8th 2004, 1:00am

@MaxPower: :respekt:

Das schau ich mir mal genauer an.

Mabuse

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29

Monday, March 8th 2004, 1:15am

Mit der Gleichung:

100 = e + c + 5

kommt man ebenfalls auf e = 31(,33), c = 63(,67)

war aber zu blöd um dann noch dem Rest zu folgen

Mabuse

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30

Monday, March 8th 2004, 1:21am

Auf jeden Fall cool. Mehr davon.
Bitte noch eine in der Art - echt goil.
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