Matheaufgabe

Profi

02.11.2011, 09:32

Matheaufgabe

Moin
irgendwie komm ich mit der aufgabe nicht klar....
Sei X eine Menge und Bij(X) = {f: X -> X| f ist bijektiv} die Menge aller bijektiven Abbildungen von X nach X. Zeigen Sie, Dass Bij(X) mit der Verknüpfung von Abbildungen als Multiplikation eine Gruppe ist. Wann ist diese Gruppe kommutativ?

Ich dachte, dass ich nun eifnach die eigenschaften von gruppen anhand der Verknüpfung beweisen soll, jedoch krieg ich das nicht so hin :/

Über schnelle Antworten wäre ich dankbar

lui

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AtroX_Worf

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02.11.2011, 09:51

Zitat von »[*HS*] Lui«

Ich dachte, dass ich nun eifnach die eigenschaften von gruppen anhand der Verknüpfung beweisen soll, jedoch krieg ich das nicht so hin :/

Genau das sollst du machen. Erinnere dich, dass bijektiv = injektiv & surjektiv bedeutet.
Dann sollst du Elemente f,g aus Bij(X) betrachten und zeigen, dass die Abbildung f°g selbst wieder eine Bijektion ist (einfach) und dass alles die definierenden Eigenschaften einer Gruppe erfüllt.
Das neutrale Elemente der Gruppe wird sicherlich die Identität Id aus Bij(X) sein, da f°Id = Id°f = f ist.

Abkürzen kannst du da nachrechnen der definierenden Eigenschaften, wenn du die schwächstmögliche Definition nimmst. Es reicht bspw. zu zeigen, dass die Identität links-neutral ist, d.h. das gilt Id°f=f für alle f aus Bij(X). Es reicht auch für die Existenz eines Inversen Elementes zu zeigen, dass ein links-inverses Element existiert. Hattet ihr das nicht in der Vorlesung, musst du das aber eventuell noch zeigen - dann lieber beide Richtungen hinschreiben.

Kurz ist zu zeigen: Wenn f,g aus Bij(X), zeige dass dann auch f°(g^-1) aus Bij(X). Ansonsten die Gruppeneigenschaften nachrechnen.
Jetzt alles klar?

Zitat

Über schnelle Antworten wäre ich dankbar
lui

Wann ist Abgabe?

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[*HS*] Lui

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02.11.2011, 09:57

um 14:00, aber ich hatte grad ein bisschen Panik, da das meine erste Übung ist und ich mir dachte, dass ich das nicht bringen kann, die gleich nicht ganz vollständig zu haben

Ah okay, so im Ansatz hatte ich es, nur nicht mit dieser Identität usw... ^^

Danke!

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AtroX_Worf

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02.11.2011, 10:00

Du brauchst 50%, oder?

Aber am Anfang sollte man schon etwas mehr haben, ist auch kurz vor den Klausuren entspannter.

Muss bald Vorlesung geben, solange kann ich noch antworten.
Schreib hier mal die Definition einer Gruppe hin, und zusätzlich die Eigenschaft, die gegeben sein muss, wenn es sich um eine kommutative Gruppe handeln soll.

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[*HS*] Lui

Profi

Beiträge: 1 434

02.11.2011, 10:05

Ich hoffe mal... aber vielleicht auch 60% wie in Informatik....
So genau haben wir das noch nicht besprochen, da der Prof durch den gestrigen Feiertag eine Vorlesung verloren hat und uns dann ne email geschrieben hat, dass wir anhand von büchern die aufgaben machen sollen... Ich habs mir nur son bisschen zusammengetragen aus analysis noch, daher kann ioch dir die gnauen eigenschaften usw nicht geben..^^