MastersForum

Was willst du damit sagen? Wenn es eine Gleichung sein soll, dann schreibe die linke Seite auch hin - und versuche Sonderzeichen zu vermeiden. Und das Zeichen für die Multiplikation ist "*".

Nimm doch mal x oder sowas für das Sonderzeichen und sag vor allem, für was die Variablen stehen sollen.

z1, z2 sind 2 komplexe Zahlen, welche multipliziert werden sollen?
Dann wäre die Aussage, dass man 2 komplexe Zahlen multipliziert, indem man auf die Darstellung in trigonometrischer Form, bzw. wegen der Euler'schen Iidentität äquivalent zur Exponentialform, wechselt und da die Radien multipliziert und die Winkel addiert. Das kommt ja auch direkt aus der Exponentialform raus, weil der exp die Multiplikation in eine Addition überführt. Mathematisch würde man sagen, die Exponentialfunktion ist ein Gruppenhomomorphismus, der der additiven Gruppe der reellen Zahlen (IR,+) in die multiplikative Gruppe der reellen Zahlen (IR,*) abbildet, d.h. exp: (IR,+) -> (IR,*), exp(x+y) = exp(x)*exp(y).

Daraus ergibt sich, dass wenn die Darstellung in Exponentialform korrekt ist, aus den Rechenregeln der Komponenten folgt, dass die Zusammenfassung in deiner letzten Gleichung korrekt ist.

Die Riemann'sche Zahlenkugel brauchst du imho nicht. Das ist eine Kompaktifizierung der (unbeschränkten) komplexen Zahlenebene C auf eine Kugel, indem man ihn entsprechend erweitert. Dann kannst du jedem Punkt aus der komplexen Ebene einen Punkt auf der Kugel zuordnen.
Letztlich gewinnt man in der Erklärung damit nicht wirklich was, dieses abstrakte Konzept dürfte nur verwirren. Wenn du nicht weißt was eine kompakte Menge oder eine Topologie ist, brauchst du dich dafür imho nicht zu interessieren.

€dit: Ich hatte addiert anstatt multipliziert geschrieben...

Zitat

Original von JorDan_23
Ich erklär es lieber, wie du das machst mit der Exonentialfunktion. Is glaub ich verständlicher, somit is das andere dann eh uninteressant. Btw, der komische Ausdruck soll eigentlich das Argument Phi darstellen, anscheinend mag Masters den Ausdruck net.

Ja, erklär es lieber mit der Exp-Funktion und der Euler'schen Identität. Dann hat man gleich die Begründung, wieso die Winkel addiert werden.

Zitat

Original von JorDan_23
Ich hab da noch eine Theorie, die ich jetzt mal aufschreiben werde.
x^4= -30
Diese Gleichung besitzt 4 verschiedene Nullstellen, die aber was gemeinsam haben. Der Betrag dieser komplexen Zahlen sind gleich und sie haben alle den selben "Verschiebungswinkel".

genau

Zitat

Original von JorDan_23
Auf der Gausschen Ebene bilden die 4 Lösungen als ein Quadrat mit dem selben Abstand zum Nullpunkt. Wenn wir jetzt x^6=64 haben, dann wären in den reelen Zahlen Zahlen zwei Lösungen x1=2 und x2=-2. Es fehlen aber noch 4 Lösungen, die sind aber nicht mehr reel sondern komplex. Diese 6 Punkte bilden wieder ein 6 regelmäßiges 6- Eck. [7quote]
genau

Zitat

Original von JorDan_23
Da jetzt bei dieser Gleichung 2 der 6 PUnkte auf der reelen Achse liegen, liefert die Gleichung in IR nur -2 und 2. Seh ich das richtig? Wenn man jetzt x^n = c haben und n gegen undnelich läuft, dann würde doch ein n- Eck enstehen und somit ein Kreis mit dem Radius 1, falls c > 1.

Ja, bei x^n geht das regelmäßige n-Eck gegen einen Kreis. Du brauchst einfach nur die n-ten Einheitswurzeln ziehen, d.h. c=1 wählen. Dann ist der Betrag standardmäßig 1, weil ja alle Einheitswurzeln auf dem Einheitskreis (mit Radius 1 um 0) liegen.

Zitat

Original von JorDan_23
Falls meine Vermutung stimmt, gibt es dann einen Zusammenhang zwischen der eulerschen Identität? http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Identit%C3%A4t
Bei dem 2. Bild sieht man, dass sich bei n gegen unendlich ein Kreis bildet. Is das jetzt bloß Zufall?

Nein, in der Mathemathik gibt es bei "Zusammenhängen" eigentlich keinen Zufall. Das soll aber lieber mal jemand anders erklären, nen Physiker oder so. Die haben eher die Anschauung für komplexe Zahlen.

Also sicher sind nicht alle komplexen Funktionen unendlich oft differenzierbar. Zudem ist die Frage, welche Art von Differenzierbarkeit dein Lehrer meint, die "normale" in C oder die komplexe, siehe auch Holomorphie, d.h. er meint sicher holomorphe Funktionen und komplexe Differenzierbarkeit.

Anderseits hat er recht, dass man eine Funktion mittels Polynomen von beliebig hohen Grad approximiert werden können (bspw. Taylorpolynome), wenn man sie lokal kennt (ein Punkt reicht da nicht, weil man da ja nicht differenzieren kann, aber um einem Punkt entwickelt man).
Das gilt auch nur auf einem kompakter Menge, d.h. vereinfacht in einem abgeschlossenen, beschränkten Bereich (beschränktes Intervall), siehe Satz von Stone-Weierstraß (schau mal lieber im englischen).

Die Funktion ist eine Abbildungsvorschrift, d.h. die ordnest jedem Element aus dem Definitionsbereich genau ein Element aus dem Bildbereich zu.

Wenn eine komplexwerte Funktion f : C -> C ist, d.h. von der Menge der komplexen Zahlen in die Menge der komplexen Zahlen abbildet, dann würde der Graph dieser Funktion 4-dimensional sein.
Wenn f : C -> IR nur aus den komplexen Zahlen in IR hinein abbildet, dann könntest du den Graph 3-dimensional visulaisieren. X-Achse ist IR, YX-Asche ist i*IR und Z-Achse ist der Funktionswert f(x,y).

Normalerweise versteht man unter einer komplexen Funktion eine, welche von C nach C abbildet.

Aber man kann sich mit Tricks behelfen, indem man nicht alles einzeichnet, sondern nur relevante Teile.

Zitat

Original von JorDan_23
Mein Lehrer hat auch noch erwähnt, dass komplexe Funktionen beliebig oft differenzierbar wären. Wenn man einen "Punkt " kennt, kenn man jeden anderen. Ich bin mir nicht mehr sicher, ob er Punkt gesagt hat, aber es war sowas in der Richtung.

Zitat

Original von AtroX_Worf
Anderseits hat er recht, dass man eine Funktion mittels Polynomen von beliebig hohen Grad approximiert werden können (bspw. Taylorpolynome), wenn man sie lokal kennt (ein Punkt reicht da nicht, weil man da ja nicht differenzieren kann, aber um einem Punkt entwickelt man).
Das gilt auch nur auf einem kompakter Menge, d.h. vereinfacht in einem abgeschlossenen, beschränkten Bereich (beschränktes Intervall), siehe Satz von Stone-Weierstraß (schau mal lieber im englischen).

Das meinte sein Lehrer aber 100 pro nicht, der hat sich sicher auf den Identitätssatz bezogen.
Grob gesagt: Kennt man eine holomorphe Funktion in einer kleinen Umgebung eines beliebigen Punktes, dann schon überall.

Zitat

Original von para
Das meinte sein Lehrer aber 100 pro nicht, der hat sich sicher auf den Identitätssatz bezogen.
Grob gesagt: Kennt man eine holomorphe Funktion in einer kleinen Umgebung eines beliebigen Punktes, dann schon überall.

Sagte ich doch:

Zitat

Original von AtroX_Worf
siehe auch Holomorphie, d.h. er meint sicher holomorphe Funktionen und komplexe Differenzierbarkeit.

Das hängt doch genau über Potenzreihen und damit unendlich-oft Differenzierbarkeit zusammen.

Aber ich glaube kaum, dass er dass in der Schule vorstellen soll. Dann doch eher mit einer einfachen Analogie, wie aus unendlich-oft differenzierbar folgt, dass man eine Funktion beliebig nahe mit geeigneten Polynomen approximieren kann.

Zitat

Original von JorDan_23
2. Frage. Wofür verwendet man die komplexen Zahlen überhaupt? Bezogen auf den Alltag.

ich brauch die jedes mal bevor ich aufs Klo gehe

In der Elektrotechnik ist die Komlexe Rechnung ne schöne Rechenhilfe, mit dem sich seeeehr viele Sachen anschaulicher und einfacher Berechnen lassen.
zB http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Wechselstromrechnung
Wenn du bisschen fit bist in Physik, dürfte das leicht verständlich sein.

Gibt natürlich noch viel mehr, zB Laplace oder Fourier Transformationen, aber damit schießt du wohl übers Ziel hinaus

Schau dir mal Anschauliche Funktionentheorie von Tristan Needham an.
Ich denke im ersten Kapitel werden alle deine Fragen beantwortet.

Du findest es auch bei google-books.

Ich fand auch, dass es wohl zu viel Stoff war. Ein Mathematiker hätte das Thema natürlich in 15 min durchhauen können, aber an ner Schule kann man das nicht machen.

hast dus vorher nicht mal geübt?
Sollte man immer machen, dann siehst ob länge passt,wo du vielleicht schwierigkeiten hast, etwas gut zu erklären, wie die übergänge zwischen den folien passen usw...

Zitat

Original von AtroX_Worf
Ich fand auch, dass es wohl zu viel Stoff war. Ein Mathematiker hätte das Thema natürlich in 15 min durchhauen können, aber an ner Schule kann man das nicht machen.

Man kann sich auch mal aufs Wesentliche konzentrieren.

ich bleib dabei, worf du bist viel zu umständlich und hast den bezug zu "ausserhalb" verloren^^

jo, absolut realitätsfremd der mann

Zitat

Original von JorDan_23
Haha, hatte heute meinen Vortrag. Geplant waren ja 45 min, deswegen hab ich sicherheitshalber mal viel Stoff reingebaut, da ich nicht wusste, wie lang das gehen würde. Heute hab ich dann doch gesehen, wie kurz 45 Min überhaupt sind. War ziemlich lustig, als ich so 1/4 vom Referat durch hatte, hab ich auf die Uhr geschaut und gesehen, dass mir noch 15 min übrig blieben. Musste so viel streichen und habs dann natürlich nicht wirklich gut und anschaulich zeigen können. Meiner Meinung nach is das eher schwachsinn über so ein Thema nur 45 min zu erzählen, da man mindestens zwei Stunden braucht um das schön genau zu erklären. Mein Referat hätte glaub ich sogar 2 Stunden gedauert, aber naja. Bin gespannt was ich krieg.

Es ist ja gerade die Kunst, seinen Vortrag auf ein bestimmtes zeitliches Maß runterzukürzen - und das heißt nicht nur, dass man den Stoff, den man hat, strafft, sondern auch, dass man Sachen weglässt. Ich behaupte einfach mal, dass für einen Schulvortrag wirklich das absolut Wesentliche reicht, was es über komplexe Zahlen zu wissen gibt. 80% der Leute verstehen doch noch nicht einmal, wie i eine Zahl sein (bzw. bezeichnen) kann, wo es doch eigentlich ein Buchstabe ist.

Außerdem hat das Zeitlimit auch praktische Gründe. Stell dir mal vor, der Typ, der seinen Vortrag über Effi Briest halten wollte, kriegt dafür 3 Stunden Zeit und du musst zuhören - der blanke Horror.

Allerdings ist es, solange man das nicht schon ein paar Mal gemacht hat, wirklich schwer, so einen Vortrag zeitlich einzuschätzen und 45 Minuten sind schon gar nicht so wenig. Da bietet es sich wirklich an, den Vortrag einmal vorher zu üben (ob vor Familie oder imaginären Freunden ist ja egal bzw. kann man sich aussuchen).

Zitat

Original von Tsu_Cortes
Man kann sich auch mal aufs Wesentliche konzentrieren.

Wie soll man sich denn aufs wesentliche konzentrieren, wenn der Lehrer noch mit Riemannscher Zahlenkugel und holomorphen Fuktionen ankommt und es gern im Vortrag haben möchte?? Als Schüler hat man da ja noch nicht so die Erfahrung.

Zitat

Original von kOa_Master
ich bleib dabei, worf du bist viel zu umständlich und hast den bezug zu "ausserhalb" verloren^^

Und wie kommst du da drauf? Ich meinte ja noch, dass er die Riemannsche Zahlenkugel und holomorphe Funktionen rauslassen sollte, weil es eben in der Schule nichts bringt.

Ich hätte zuerst komplexe Zahlen als Vervollständigiung der reellen über Faktorzerlegung in irreduzible Polynome motiviert, dann anschaulich ein paar komplexe Vektoren in die Gauss'sche Zahlenebene gezeichnet und anhand der Euler'schen Formel (kurz beweisen) die Exponentialdarstellung der komplexen Zahlen erklärt. Daraus sieht man schnell die Rechenregeln für die Multiplikation (wie ich auch geschrieben hatte), Addition ist sowieso klar - fertig. Natürlich hätte ich nicht unbedingt diese Worte gewählt.