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Zitat

Original von GEC|Napo
2 + 2 ist keinem Körper 0.
In F2 sind 2 und 0 zwar in derselben Restklasse, aber da 2 nicht Element des Körpers ist, ist die Addition dort nicht definiert.

hm, nimm den Körper mit 4 Elementen und nenne diese Elemente 0,1,2 und 3.

Wenn man dann eine schöne Additions und Multiplikationstabelle erstellt, unter der Berücksichtigung, dass 0 neutral für die Addition und 1 neutral für die Multiplikation ist, gilt 2+2 = 0.

Oder willst du mir jetzt verbieten in diesem Körper die Elemente so zu bennenen?

speci was ist denn in deinem körper 2*2 ?
wenns auch 0 ist hast du max. problem

also erstens folgt aus 2+2=0 nicht 2*2=0, fall für beide hier gilt 2 in K
für 2 in Z und 2 in K, gilt 2*2=(1+1)*2=2+2=0, aber eben nicht für das erste

ich meinte eigentlich die frage auf der letzten seite schon beantwortet zu haben, aber wenns ein körper mit 4 elementen sein soll:

ok veruschen wir das ganze ma anders, achtung das werden jetzt spontane gedanken

((
wenn wir einen körper mit 4 elementen haben, in dem 2+2=0 ist, dann ist sicherlich vermöge meines kanonischen ringhomormophismus 2*2=0
achtung, die erste 2 ist NICHT element des körpers, sondern aus Z

so, damit wissen wir aber, dass die charakteristik dieses körpers sicherlich größer 0 ist, (was sowieso klar ist, weil mein ringhomo niemals injektiv sein kann) damit haben wir in unserem körper nen primkörper isomorph zu Z/2Z oder Z/3Z, also explizit F2 oder F3, diese sind als endliche körper vollkommen
))

jedenfalls fällt mir gerade ein, dass es sowieso nur einen körper mit 4 elementen gibt, weil der zerfällungskörper eindeutig ist und da 2^2=4, muss dieser also von der form F_(2^2) sein, damit ist aber der primkörper F2

damit können wir obiges vergessen, da dies damit alles trivial wird

also ist uns jedenfalls schon zu einem großen teil klar, wie die verknüpfungen aussehen müssen (bei der mult. ist das eh trivial)

da tafeln malen langweilig ist, muss das auch noch mit bsichen mehr theorie gehn, mach mir ma n tee und schau dann weiter ^^

ok da sind wir wieder, wir betrachten also die erweiterung F(2^2)|F2

wir wissen weiter, dass F(2^2) zerfällungskörper des polynoms X^4-X ist, nenn wir die beiden weiteren elemente einfach 2 und 3
also ist in F(2^2)

X^4-X= (X-0)(X-1)(X-2)(X-3)=....
=X^4+(-1-2-3)X^3+(-2-3+2*3)-(2*3)X

damit sehen wir also

1+2+3=0
2*3=2+3=1
2*3=1

damit ist aber auch unsere additionstafel eindeutig vorgegeben

letztlich kriegen wir

+ || 0 | 1 | 2 | 3
----------------------
0 || 0 | 1 | 2 | 3
1 || 1 | 0 | 3 | 2
2 || 2 | 3 | 0 | 1
3 || 3 | 2 | 1 | 0


* || 0 | 1 | 2 | 3
----------------------
0 || 0 | 0 | 0 | 0
1 || 0 | 1 | 2 | 3
2 || 0 | 2 | 3 | 1
3 || 0 | 3 | 1 | 2


also 2+2=0 und 2*2 !=0, wobei für 2 in Z weiterhin 2*2=0

wenn fehler drin is, bitte gleich schrein, bin etwas krank, aber hab jetzt aufn ersten blick nichts gefunden

Zitat

Original von [pG]Nalfein

+ || 0 | 1 | 2 | 3
----------------------
0 || 0 | 1 | 2 | 3
1 || 1 | 0 | 3 | 2
2 || 2 | 3 | 0 | 3
3 || 3 | 2 | 1 | 0

Tippfehler bei 2+3=1, ansonsten passts

danke, das ekelhafte wär eben die verknüpfungen nachzurechen (distri), aber das sollte der theorieteil ersparen

Zitat

nenn wir die beiden weiteren elemente einfach 2 und 3
also ist in F(2^2)

Ne Nalfein so nicht, da kann man ja gleich sagen man nennt die eins "Zwei" und betrachtet F2

Elemente von F(2^2) sind 00, 10, 01 und 11. So und nicht anders.

schwachsinn, natürlich kann ich das

bemerken wir nebenbei für dich, dass in diesem körper
1+1!=2

und wenns explizit ein körper mit 1+1=2 sein soll, dann würd ich wie vorher schon gesagt F2 mit Z/2Z identifizieren und den wohldefinierten verknüpfungen der äquivalenzklassen rechnen

Nein, alle deine Körper haben kein Zweielement. So wurde es uns vom Prof beigebracht, und ich schätze seine Lehre einfach mehr als deine. Außerdem sind seine Argumente plausibler.

aber Napo, du wirst zweifelsfrei zugeben müssen dass die Additions und Multiplikationstabelle richtig ist. Und genau so kam die bei mir in der LA Vorlesung für den Körper mit 4 Elementen auch vor.

Also merke: 2*3 = 1 *g*

napo dein problem ist, dass du deine "argumente" einfach auf die definition von diesem "zweielement" stützt,

meine argumente sind jedenfalls schlüssig und wenn du meinst, das sie falsch sind, dann zeige mir bitte den fehler ;-)

natürlich kann ich mirn solches "zweielement" ding so definieren, dass die frage nicht mehr lösbar ist, aber worin liegt der sinn

zumal definiere doch bitte mal dein "zweielement"
nur aus interesse ^^

Na ich schätz doch dass für das Zweielement z gelten soll:
Vx : x * z = x + x

Aber ka ^^ nur geraten

PS: Und mit der Definition is es dann offensichtlich unmöglich nen Körper zu finden mit z+z=0.

hm, aber niemand darf mir verbieten, das Symbol "2" für ein Element eines Körpers meiner Wahl zu verwenden. Und somit ist die Gleichung 2+2=0 erfüllbar

Naja, wenn gemeint war:
"Es gibt keinen Körper in dem für das Zweielement z+z=0 gilt", dann stimmt was Napo gesagt hat.

(Ich geh jetzt einfach mal davon aus das Napo bei 2+2=0 mit "2" das Zweielement nach obriger Definition gemeint hat, und nicht ein beliebiges Element dem willkürlich die "2" als Symbol zugewiesen wurde.)

Ja ich hab die Definition von plexiq oder folgende gemeint 2:= 1+1 von Null verschieden.

Ansonsten kann man 1 ja ganz willkürlich "2" nennen, und hätte das Problem auch "gelöst".

wie ich sagte, das ganze ist einzig eine definiton, die man so wählt, dass es nach dieser unmöglich ist ;-)

Zitat

Original von SRS_Speci
hm, aber niemand darf mir verbieten, das Symbol "2" für ein Element eines Körpers meiner Wahl zu verwenden. Und somit ist die Gleichung 2+2=0 erfüllbar

Naja, das geht aber am Problem vorbei, siehe mein Ausspruch dazu letzte Seite und auch Napos Satz 2 Postings weiter oben.

ganz streng genommen war die Behauptung: 2+2 ist 0.

also schonmal nicht wohldefiniert, ist dasselbe mit den 3 Toren und den 2 Nieten

wechseln nachdem showmaster eins aufgemacht hat, erhöht nicht zwangläufig die siegeswahrscheinlichkeit