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boah inhomomgene diff-gleichungen.....ich weiss nicht wie gut die in dem fall "aufgehen", aber wenns dumm läuft rechneste pro gleichung 4 seiten.....

Zitat

Original von WW_Ronin
Ich habe hier ein paar Aufgaben zu Taylorreihen und Differentialgleichungen. Ich wäre dem sehr dankbar, der mir für diese einen Lösungsweg beschreibt und evtl. ein, zwei Satze erklärt(nur bei den Differentialgleichungen)

1.

Berechnen Sie für die angegebenen Funktionen das Taylorpolynom vom Grade n an der Stelle x0 und lim
n->unendlich R[n](x): [n] entspricht Index n

(a) y = f(x) = sin x , x[0] = 0
(b) y = f(x) = cos x , x[0] = Pie/3

1. Ich beschränke mich mal auf a), b) dürfte eigentlich analog gehen.

Der Sinus ist beim Ableiten periodisch, nach vier Ableitungen ist man wieder dort, wo man angefangen hat.

f(x) = sin(x)
f'(x) = cos(x)
f²(x) = - sin(x)
f³(x) = - cos(x)
f""(x) = sin(x) usw.

T[n](x,x[0]) = Summe k=0 bis n von ( f^k(x[0])/(k!) * (x-x[0])^k )

x[0] = 0

T[n](x,0) = Summe k=0 bis n von ( f^k(0)/(k!) * x^k )

sin(0) = 0
cos(0) = 1
-sin(0) = 0
-cos(0) = -1

0 + (1 / 1!) * x^1 + 0 + ((-1) / 3!) * x^3 + 0 + (1 / 5!) * x^5 + 0 + ((-1) / 7!) * x^7 + ...

Die geraden Ableitungen (inklusive Originalfunktion) tragen nichts zur Summe bei, denn f^k(0) = 0 für k gerade.

Es bleiben die Brüche mit 1 über dem Bruchstrich und die mit -1, also (n-1)/2 Summanden, und zwar abgerundet, denn falls n+1 ungerade ist, ist eine 0 mehr als eine Nicht-0 in der Summe. Der letzte Summand ist dann eine 0, der erste sowieso (f(0) = 0). Jede 0 hat als Nachfolger dann eine Nicht-0, ausser eben die letzte - damit ist sie eine mehr.

T[n](x,0) = (1 / 1!) * x^1 + ((-1) / 3!) * x^3 + (1 / 5!) * x^5 + ((-1) / 7!) * x^7 + ...

Eventuell will man nicht mehr von euch sehen, man kann jedoch weiter zusammenfassen, wenn man zwischen "1ern" und "-1ern" trennt.

Summe k = 1 bis p von (x^(4k-3) / (4k-3)!)

p = aufrund ( ( abrund ( (n+1)/2 ) /2)

und Summe k = 1 bis q von (-x^(4k-1) / (4k-1)!)

q = abrund ( ( abrund ( (n+1)/2 ) /2)

Beide Summen zusammen ergeben das Taylorpolynom, wobei man aus der zweiten natürlich eine Differenz machen kann, wenn man das Minus herauszieht.

Warum so kompliziert mit Abrunden und Aufrunden? Weil es vier verschiedene Fälle gibt für n+1.

1. n+1 ist sauber durch 4 teilbar

Die Hälfte der Summanden ist also 0, die andere Hälfte 1er oder -1er (und teilt sich dort brav 50:50 auf).

Der Fall wird durch das Runden nicht beeinträchtigt, da bei den zwei Divisionen durch 2 immer ganze Zahlen entstehen.

2. n+1 ist 1 zuviel, um durch 4 teilbar zu sein

Wir haben also eine 0 mehr als Nicht-0en. Bei der Division von (n+1)/2, bei der Einteilung in Summanden, entsteht eine gebrochene Zahl, die muss man aufrunden, um den Anteil der 0en zu erhalten. Zum Ausgleich muss man den Anteil der Nicht-0en abrunden.

Ein Beispiel, n=4: hier ist n+1 = 5, also trifft Fall 2 zu. 5/2 ist 2.5, wir haben 3 0en (2.5 aufgerundet) und 2 Nicht-0en (2.5 abgerundet)

Das Taylorpolynom vierten Grades ist 0 + (1 / 1!) * x^1 + 0 + ((-1) / 3!) * x^3 + 0, passt.

3. n+1 ist 2 zuviel, um durch 4 teilbar zu sein

n+1 ist dann immerhin gerade, hier stimmt das Verhältnis zwischen 0en und Nicht-0en. Dummerweise haben wir dann einen 1er mehr als -1er. Deswegen müssen wir die Anzahl der 1er aufrunden und die der -1er abrunden, wenn wir bei den Nicht-0en unterscheiden.

Beispiel n=1: n+1 = 2

Das Taylorpolynom ersten Grades ist 0 + (1 / 1!) * x^1, also ein 1er mehr als -1er.

4. n+1 ist 3 zuviel, um durch 4 teilbar zu sein (bzw. 1 zuwenig)

Hier gibt es einen 0-Term mehr als Nicht-0-Terme, und zusätzlich noch einen 1er-Term mehr als -1er.

Die bisher beschlossenen Rundungsregeln passen hier ebenfalls, noch ein Beispiel...

n=6, entspricht n+1 = 7

p = aufrund ( ( abrund ( (n+1)/2 ) /2)

p = 2 also 2 1er Terme

q = abrund ( ( abrund ( (n+1)/2 ) /2)

q = 1 also einen -1er Term


Das Taylorpolynom n-ten Grades für diese Funktion, für x und x[0] = 0 ist also

Summe k = 1 bis p von (x^(4k-3) / (4k-3)!)

- Summe k = 1 bis q von (-x^(4k-1) / (4k-1)!)

mit p = aufrund ( ( abrund ( (n+1)/2 ) /2)

und q = abrund ( ( abrund ( (n+1)/2 ) /2)

Möglicherweise gibt es noch Ansätze mit Reihen, um das ganze richtig zusammenzufassen, vielleicht fällt jemand anderem noch etwas ein.

Ansonsten brauche ich erstmal eine Pause, bei 2. fällt mir nur spontan ein, dass e = 1 + 2/(2!) + 3/(3!) + ... + k/(k!) gilt für k gegen unendlich.

das is en adw wert was der Sheep hier jede Woche bietet.

sheep hat Recht.

wollknäul rox eben.

hättest du doch auch lösen können, amigo

Sheep 4 AdW !

Zitat

Original von Gossudar
hättest du doch auch lösen können, amigo

wenn ich nach dem abi mathe für immer los bin, werde ich den kram garantiert nicht auch noch studieren, dafür hat man freaks wie schaf

@AoEGoD: Drohhyn war schon fleissig.

AdW wäre übertrieben, ich mache das schliesslich zum Zeitvertreib, ausserdem würde das so aussehen, als wäre ich der einzige, der sich die Mühe macht - den Gegenbeweis findet man ja zum Glück in fast jedem Thread.

@Ronin: Nach den anderen Aufgaben schaue ich morgen.

vielleicht bist du einfach der einzige der den Käse kapiert ^^

Scheint mir auch fast so

Von Taylorreihen hab ich bisher nix gehört, mein Bruder sagte mir aber grad was das ist. Haben wir im Mathe LK nicht behandelt, bei uns am WG kamen eher Volkswirtschaftliche Verflechtungen anhand des Leontief-Modells dran -.-

Ich mach das übrigens auch zum Zeitvertreib und irgendwie isses ja auch Übung für Mittwoch... Obwohl, da wirds wohl etwas schwerer

Aber ich denke mal bei Sheep & Ronin gehts eh auf Studium zu, oder ?

Wow, und das ist sogar Premi-Gütesiegel versehn....

so ne differentialgleichung wie unter 3. hab ich in ner mündlichen prüfung bekommen (ohne vorbereitungszeit, direkt mal reingestreut). war auch sehr lustig...

echt gut, dass ich das alles ein jahr lang hatte, ich könnte nicht mal mehr die hälfte davon auf anhieb

Zitat

Original von curse
echt gut, dass ich das alles ein jahr lang hatte, ich könnte nicht mal mehr die hälfte davon auf anhieb

Hat seine Vorteile, wenn man dank Mathe Grundkurs und Faulheit in den Klausuren durchrasselt und sich das ganze noch einmal antun muss, kann ich aus Erfahrung sagen.

Zitat

Original von WW_Ronin
4. Untersuchen Sie die folgende Funktion auf relative Extremwerte:

z = f(x, y) = 1/2(x^2 + 1)-2y(2x + 7) + 3x + 9y^2

notwendige Bedingungen:

f nach x abgeleitet (im folgenden kurz fx genannt) gibt im Punkt (x0,y0) 0
f nach y abgeleitet (kurz: fy) gibt im Punkt (x0,y0) 0

hinreichende Bedingung:

D = fxx(x0,y0) * fyy(x0,y0) - (fxy(x0,y0))² > 0
Das kann man auch umstellen zu einem Vergleich, der erfüllt sein muss: fxx(x0,y0) * fyy(x0,y0) > (fxy(x0,y0))²


Wir brauchen also einen Packen Ableitungen, ich würde erstmal f(x,y) handlicher formulieren.

f(x,y) = x²/2 + 1/2 - 4xy - 14y + 3x + 9y²
fx = x - 4y + 3
fxx = 1
fxy = -4
fy = -4x - 14 + 18y
fyy = 18


Schauen wir nach Nullpunkten...

0 = x - 4y + 3 = fx
0 = -4x - 14 +18y = fy

Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte, lässt sich gut lösen. Obere Gleichung *4 und dann addieren...

0 = 2y - 2
2 = 2y
y = 1

0 = x - 4 + 3
x = 1

Mit dem Punkt in die verschiedenen anderen Ableitungen gehen...

fxx(1,1) = 1
fyy(1,1) = 18
fxy(1,1) = -4

D = fxx(1,1) * fxy(1,1) - (fxy(1,1))²
18 - 16 > 0 hinreichende Bedingung erfüllt, Extremum

D < 0 hiesse kein Extremum, für D = 0 bräuchte man einen zusätzlichen Ansatz zur Analyse, kann ich hier aber nicht anbieten und ist für Nicht-Mathematiker wahrscheinlich auch kein Klausurstoff.

Minimum oder Maximum?

Das entscheidet man nach fxx(x0,y0), nicht wirklich anders als bei einer Variable:

fxx(x0,y0) > 0 Minimum
fxx(x0,y0) < 0 Maximum
fxx(x0,y0) = 0 kann nicht vorkommen, dann wäre D nämlich nie > 0

Unser fxx(1,1) ist 1, also haben wir dort ein Minimum.

Zitat

Original von WW_Ronin
5.

Bestimmen Sie alle Punkte, an denen sich Extremwerte der folgenden Funktion unter den angegebenen Nebenbedingungen befinden können.

z = f(x, y) = x^2 + y^2 , 5x^2 + 5y^2 - 8xy - 18 = 0

Die zweite Gleichung nenne ich mal g(x,y). Da sie 0 ist, kann man sie zu f(x,y) beliebig oft aufaddieren, das ist bei dem ganzen auch der entscheidende Trick.

F(x,y) = f(x,y) + a * g(x,y)

Diese Funktion leitet man nach x, y und a ab.

Fx = 2x + a * (10x - 8y)
Fy = 2y + a * (10y - 8x)
Fa = 5x^2 + 5y^2 - 8xy - 18 = g(x)

Für Extreme müssen diese drei Funktionen alle gleichzeitig 0 sein, das ist bei g(x) sowieso gegeben.

Fx = 0
-2x = a * (10x-8y)
-x = a * (5x-4y) angenommen Klammerausdruck ungleich 0
-x / (5x-4y) = a

Fy = 0
2y - (x / (5x-4y)) * (10y-8x) = 0
2y - (10xy-8x²) / (5x-4y) = 0
2y(5x-4y) - 10xy + 8x² = 0
10xy - 8y² - 10xy + 8x² = 0 gemischtes Glied entfällt (zum Glück; wegen des Ansatzes?)
8x² - 8y² = 0
8x² = 8y²
x² = y²
x = y bzw. x= -y

Fa = 5x^2 + 5y^2 - 8xy - 18 = 0
5y² + 5y² - 8y² - 18 = 0 wenn x = y
2y² = 18
y² = 9
y = 3 bzw. y = -3

5y² + 5y² + 8y² - 18 = 0 wenn x = -y
18y² - 18 = 0
18y² = 18
y² = 1
y = 1 bzw. y = -1

Zu jedem y gibt es zwei x-Werte, damit gibt es scheinbar 8 Extrempunkte. Etwas seltsam bei einer quadratischen Funktion, auch wenn sie zwei Variablen hat, vielleicht kann es jemand widerlegen oder bestätigen.

(1,1) (-1,1) (1,-1) (-1,-1) (3,3) (-3,3) (3,-3) (-3,-3)

Hm, vielleicht sollte ein "Mathe-Hilfe-Forum" eingerichtet werden *gg*

Mit 2. habe ich mich jetzt eine ganze Weile herumgeärgert, aber ohne vernünftigen Ansatz wird das nichts.

Der Abstand lässt sich durch a(x) = Betrag ( f(x) - g(x) ) ausdrücken, bei a'(x) müsste man dann die extremen Abstände finden. Dummerweise habe ich im Intervall 0 <= x <= 1 keine Extrema gefunden.

Bei x = 0 ist der Abstand 0, bei x = 1 dagegen nicht, dort ist die e-Funktion etwas grösser. Wenn man beweisen könnte, dass die Summe im gesamten Intervall maximal genauso schnell wächst wie die e-Funktion und sich immer weiter von ihr entfernt, wäre x = 1 das Maximum. Negative Steigungen gibt es bei beiden Funktionen in dem Intervall nicht, die das stören könnten.

Zitat

Original von WW_Ronin
3.

Gewöhnliche Differentialgleichungen

(a) y'' - 2y' + 5y = 10x^2 + 12x + 6 y(0) = 2, y'(0) = 6
(b) y'' - 2y' + 10y = 9e^x y(0) = y'(0) = 1
(c) y'' + 2y' + 5y = 4 sin x + 22 cos x y(0) = 0, y'(0) = 1

Die Lösung von DGLs wird im Tafelwerk ausführlich beschrieben, man muss nur eine Weile suchen, bis man seinen Fall gefunden hat.

Zuerst stürzt man sich auf die homogene Lösung, also alle Terme 0 setzen, die nicht y oder ihre Ableitungen enthalten.

y'' - 2y' + 5y = 0

Bei konstanten Koeffizienten setzt man nun y = e^(Lx) an, L soll für Lambda stehen.

(e^(Lx))" - 2*(e^(Lx))' + 5e^(Lx) = 0

Beim Ableiten der e-Funktionen wird der Faktor L zum Term multipliziert.

L²*e^(Lx) - 2L*e^(Lx) + 5e^(Lx) = 0

Durch e^(Lx) kann man bedenkenlos teilen, wird nicht 0.

L² - 2L + 5 = 0

L = 1 +- wurzel (1-5)

L = 1 +- 2i

Ist kein Beinbruch, läuft auf eine Winkelfunktion hinaus.

L = a +- bi
y1 = cos(bx)*e^(ax)
y2 = sin(bx)*e^(ax)

In unserem Fall wäre das...

y1 = cos(-2x)*e^x
y2 = sin(-2x)*e^x

Diese beiden Funktionen sind die Lösung der homogenen DGL, kann man auch yh1 und yh2 nennen.

Gegen die Terme ungleich 0 auf der rechten Seite unserer DGL gibt es einen Störgliedansatz.

r(x) = b0 + b1x + b2x² + ... + bnx^n

Für die spezielle Lösung ys setzt man dann an...

ys(x) = B0 + B1x + B2x² + ... + Bnx^n

Irgendwie fliesst dann noch die homogene Lösung ein und man erhält eine spezielle Lösung, aber das kriege ich nicht mehr hin.


Mal was allgemeines :

Geh grundsätzlich zu Veranstaltungen, wo du den Stoff nicht verstehst. Ob der Raum nun bis obenhin vollgestopft ist oder der Prof eine Katastrophe ist, beides kann man im wesentlichen nicht ändern. Seminare und Vorlesungen ausfallen zu lassen, obwohl man sie bräuchte, ist keine Lösung und endet irgendwann in einer Katastrophe.

Ich habe den Fehler selbst gemacht und büsse heute noch dafür.

Und wenn es dich aufmuntert, Mathe wird ab dem 3. Semester einfacher und spielt irgendwann sowieso nur noch eine untergeordnete Rolle.

Beim Bronstein (oder so ähnlich) verbringst du die Hälfte der Klausurzeit mit Suchen, wenn du ihn nicht gewohnt bist - im Göhler steht viel zu wenig drin, um damit allein die Aufgabe lösen zu können.

Ich habe mir damals im Copy Shop für ein kleines Vermögen ein kopiertes Buch gekauft, "Mathematik zum Studienbeginn" von Arnfried Kemnitz, das war wesentlich besser, mit Erklärungen und vielen Beispielen. Wenn man dann die Sachen oberflächlich begriffen hat, lohnt es sich auch, den Göhler aufzuschlagen.

Es gibt nicht viele studentenfreundliche Mathebücher, aber bei der breiten Auswahl in Bibliothek und Fachbücherei findet man irgendwann eins. Wenn man sich für die Bibo entscheidet, sollte man möglichst nicht erst kurz vor einer Prüfung dorthin gehen und ausleihen, auf die Idee kommen zu dem Zeitpunkt nämlich noch andere.

Das Gebrabbel der Profs, dass wir doch vorher schon dies und das schon in der Schule / in frühreren Semestern hatten, kommt bei jeder zweiten Veranstaltung, meistens wird es trotzdem nochmal ausführlich wiederholt (irgendwie muss man ja auch 15 Wochen zu je 90 Minuten voll kriegen ). Manche alten Profs sind wie viele alte Menschen besonders betonköpfig in ihren Auffassungen, manche Äusserungen sollte man da besser nicht auf die Goldwaage legen.

Wie hart die Mathematik im 5. Semester bei Chemikern ausfällt, weiss ich nicht, aber wenn es anwendungsbezogen ist, ist es doch eigentlich erträglicher als einfach losgelöst wie die Mathe-Grundausbildung. Und Techniker beschränken sich bei angewandter Mathematik auf das wesentliche, also kaum Beweise, dafür Hilfstabellen und Vereinfachungen wo immer möglich.

Kann mir mal einer erklären, wofür man diesen "Scheiß" eigentlich im späteren Leben braucht?

eigentlich passt das einsetzen schon, aber bei deinem Fall wird das natürlich noch komplizierter, d.h. die Substitution ist nicht gut gewählt.
Bei Integralen der Art 1/x²+-a oder auch ne Wurzel im Nenner ergeben meist was mit arcsin arctan oder ähnliches, da ist substituieren sehr schwer, aber wenn dann auch mit ner trigonometrischen Funktion.
Hab dein Integral mal in Maple eingegeben, Ergebnis: 1/3*3^(1/2)*arcsinh(1/2*3^(1/2)*x)

Aber wie man das zu Fuß rechnet ka, sinh mag ich nicht .