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16.06.2009, 12:17

Tricky Mathe-Aufgabe

Ich zerbrech mir damit schon etwa ne Woche den Kopf, des ist auch schon ziemlich gut dabei aber so richtig hat ers glaube auch noch nicht. Es sei vorweg gesagt, dass das absolut freiwillig ist, aber vielleicht findet sich der ein oder andere Interessierte, bei so erstaunlich vielen Studenten die hier unterwegs sind (und Zeit haben :P).

Die Aufgabe klingt erschreckend leicht:

Ein Holzpflock werde in die Erde gerammt. Um diesen Pflock knotest du ein Stretchband, das du einem Hasen um den Bauch bindest. Der rennt jetzt mit der konst. Geschw. v ins Unendliche. Maximal realistisch; ich weiß. Der Hase käme ja gegen die elastische Rückstellkraft gar nicht an. Vernachlässigen wir.
Oben auf dem Band - das denke dir bitte so breit wie eine Autobahn. Da sitzt ein Igel. Er verfolgt den Hasen mit Geschw. u << v. Die alte Story von dem Wettlauf - gemeint als Veranschaulichung der Expansion des Weltalls.
Holt er ihn ein? Was wettest du? a, b oder c?

a) immer
b) nie
c) u muss eine kritische Schwelle überschreiten

So, nun viel Spaß beim "?("

Zitat

"I played a game vs edie where he asked me for save and eixt cause he "deleted tc". SO i did save. I checked rec and saw he lost 2 vils on boars (and he lost his scout). He didnt even bother to "delete his tc to at least make a better lie."

3

16.06.2009, 12:47

Zitat

Original von kOa_Borgg
immer.


Gehts vielleicht noch ausführlicher? Kann deinen Weg noch nicht ganz nachvollziehen :D

4

16.06.2009, 12:51

wozu der holzpflock und das strechtband?
ich bin für relativ vom igel aus gesehen, nie, aber es weiss es niemand^^

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »kOa_Master« (16.06.2009, 12:51)


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16.06.2009, 12:54

Wie soll denn u einen kritischen Schwellwert überschreiten wenn gegeben ist, dass u immer viel kleiner als v ist.

Daraus ergäbe sich doch automatisch: nie

6

16.06.2009, 13:05

oh u < v. dachte anders rum. na dann braucht es einen kritischen wert. weil der igel ja etwas geschwindigkeit vom hasen "abbekommt".

7

16.06.2009, 13:06

was ist denn der Hintergrund? Also Schule, Uni, was für Mathematik?

gehts z.B. nur darum, dass lim(nx)=lim(mx)=unendlich ist, wenn man x gegen unendlich laufen lässt? (für n,m aus R>0)

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16.06.2009, 13:50

immer oder bei ner bestimmten grenzgeschwindigkeit, bin mir nicht ganz sicher.

so kann man sich das vorstellen: (wir gehen davon aus, dass sich dieses stretchband an allen stellen gleichmäßig schnell dehnt)

der hase ist schon losgelaufen. danach fängt der igel an loszulegen. erst hat er seine geschwindigkeit u << v. der hase entfernt sich also immer weiter, aber:


wir gehen mal davon aus, dass der igel mit seinem ersten schritt jetzt ca. 1/100 so weit gekommen ist wie der hase. das heißt er hat auch 1/100 von dem stretchband überquert. da scih dieses an allen stellen gleichmäßig ausdehnt, hat er zusätzlich zu seiner geschwindigkeit u << v noch 1% der geschwindigkeit vom hasen, also u + 0,01v. beim nächsten schritt hat er auf jeden fall etwas mehr als 1/100 vom band überquert(hatte er ja schon im ersten schritt), sodass er nochmal mehr geschwindigkeit bekommt. so wird er sich ganz langsam vorarbeiten, bis zum hasen.

das ganze kann man denk ich durch eine reihe oder rekursionsformel ausdrücken (zum beispiel abstand igel-hase), wo ich aber grad zu blöd für bin. diese reihe/rekursion muss man dann denk ich auf konvergenz gegen 0 überprüfen und dann sieht man, ob sie immer konvergiert oder erst ab einer bestimmten geschwindigkeit. so stell ich mir das grade zumindest vor ;)

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »jens« (16.06.2009, 13:51)


10

16.06.2009, 13:59

.

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »AUT_Koly« (16.06.2009, 14:00)


11

16.06.2009, 14:15

Immer ist quatsch. Wenn der v = u holt der Igel ihn auf alle fälle ein, da er von der Ausdehnung des Bandes profitiert. Seine wirkliche Geschwindigkeit ist also etwas größer als die des Hasen. Das sollte klar sein. Wenn die Geschwindigkeit des Igel v = 0 ist bleibt er da stehen wo er ist und holt ihn nie ein. u wäre hier auch < v. Also ist das der Gegenbeweis für "immer".

Also MUSS es eine Grenzgeschwindigkeit u mit 0 < u < v geben wo er ihn einholt.

Dieser Beitrag wurde bereits 2 mal editiert, zuletzt von »kOa_Borgg« (16.06.2009, 14:16)


12

16.06.2009, 14:23

Das ist noch kein Gegenbeweis für "immer".

z.B. könnte man auf die Frage ob der Igel es schafft nach einer beliebig großen Zeit 1 m zurückzulegen auch mit immer (Halt sobald die Geschindigkeit größer als 0 ist) antworten. Bei einer Geschwindigkeit von 0 würde er aber auch da stehen bleiben wo er ist.

Edit: Die Voraussetzung ist ja eindeutig, dass u>0 und unter der müsste man zeigen, dass es ein u gibt, so dass der Igel den Hasen nicht einholt.

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »MfG_Stefan« (16.06.2009, 14:25)


sylence

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13

16.06.2009, 14:29

Irgendwann wird der Hase doch langsamer als der Igel (wegen des Bandes), dann hat der Igel doch jede Menge Zeit, ihn einzuholen. "immer".

€: Ups, das vernachlässigen wir? Dann halt "nie".

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »sylence« (16.06.2009, 14:30)


14

16.06.2009, 14:31

Zitat

Original von sylence
Irgendwann wird der Hase doch langsamer als der Igel (wegen des Bandes), dann hat der Igel doch jede Menge Zeit, ihn einzuholen. "immer".

€: Ups, das vernachlässigen wir? Dann halt "nie".


Zitat

Original von Raegan
Ein Holzpflock werde in die Erde gerammt. Um diesen Pflock knotest du ein Stretchband, das du einem Hasen um den Bauch bindest. Der rennt jetzt mit der konst. Geschw. v ins Unendliche.


also die frage ist so gestellt zumindest ganz klar mit "nie" zu beantworten.

15

16.06.2009, 14:36

u muss schneller sein als das sich ausdehnende band.

Antwort: C

16

16.06.2009, 14:48

Zitat

Original von CID_God_at
u muss schneller sein als das sich ausdehnende band.

Antwort: C


dann wär aber u > v

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16.06.2009, 14:48

habs mir ma bisschen aufgezeichnet. bin auch der meinung dass der hase immer eingeholt wird.
gleiche überlegung wie jens
die geschwindigkeit des igels wird irgendwann grösser, als die des hasen, dank der ausdehnung des bandes



Zitat

Original von CID_God_at
u muss schneller sein als das sich ausdehnende band.

Antwort: C


das ausdehnende band hat die geschwindigkeit des hasen= v
laut aufgabe ist aber u <<v gg^^

hm ändere meine antwort auf C) bei zu grossen differenzen geht das glaubs doch nicht^^
müsste also doch eine grenze geben

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »Imp_eleven« (16.06.2009, 14:58)


18

16.06.2009, 15:04

Zitat

Original von MfG_Stefan
Edit: Die Voraussetzung ist ja eindeutig, dass u>0

wo steht das?

Zitat

Original von kOa_Master
dann wär aber u > v


nein. u ist ja die relative geschwindigkeit des igels auf dem band. Wenn mit u die absolute resultierende geschwindigkeit gemeint wäre, dann wäre die aufgabe sofort mit NIE zu beantworten.

19

16.06.2009, 15:05

Zitat

Original von Imp_eleven
das ausdehnende band hat die geschwindigkeit des hasen= v

An der Spitze vielleicht. Weiter hinten ja eben nicht. ;)

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16.06.2009, 15:07

ok, ich glaube ich kapier jetzt erst die frage wirklich bzw. den sinn dahinter.

dann mal lösungsansatz: da sich das band nicht linear ausdehnt relativ zur länge ist es nicht möglich, dass es eine geschwindigkeit gibt, die für den als grenzgeschwindigkeit gilt - der igel bewegt sich nämlich mit konstanter geschwindigkeit und irgendwann ist diese konstante geschwindigkeit grösser als die ausdehnung des bandes (1. ableitung vs konstante).

und da das unendlich lange weitergeht, wird der igel also irgendwann immer den hasen ganz vorne erreichen - vorausgesetzt eben mit der igel-geschwindigkeit ist ausschliesslich die relative geschwindigkeit zum band gemeint und NICHT die absolute zu einem ruhenden beobachter.

21

16.06.2009, 15:14

Zitat

Original von kOa_Borgg

Zitat

Original von MfG_Stefan
Edit: Die Voraussetzung ist ja eindeutig, dass u>0

wo steht das?


Zitat

Original von Raegan
Da sitzt ein Igel. Er verfolgt den Hasen


ich verstehe unter verfolgen u>0.

Allerdings wäre es für u=0 trivial, dass a nicht in Frage kommt. (Wie du oben schon geschrieben hast)

-=)GWC(RaMsEs

unregistriert

22

16.06.2009, 15:21

denke c, weil die ausdehnung nicht linear ist und bei zunehmender länger ja immer geringer wird oder?
also die geschwindigkeit mit der der igel ohne eigene leistung beschleunigt wird geht, wenn das band gegen unendlich geht gegen 0, wobei der hase ja mit konstanter geschwindigkeit läuft. und da gilt das die geschwindigkeit des hasens grösser als die des igels ist kann er ihn nicht einholen, ausser ganz am anfang weil die ausdehnung noch linear ist. hm wär meine idee.

Dieser Beitrag wurde bereits 2 mal editiert, zuletzt von »-=)GWC(RaMsEs« (16.06.2009, 15:23)


23

16.06.2009, 15:35

Zitat

Original von MfG_Stefan
was ist denn der Hintergrund? Also Schule, Uni, was für Mathematik?

gehts z.B. nur darum, dass lim(nx)=lim(mx)=unendlich ist, wenn man x gegen unendlich laufen lässt? (für n,m aus R>0)



Uni, differentialgleichung müsste das sein.

24

16.06.2009, 15:37

Ehrlich gesagt ist es mir sowas von scheißegal was ihr glaubt oder fühlt oder denkt oder raten würdet, mathematisch fundiert sollte es sein.

Noch ein paar Verständnissachen für die wo den Witz noch nicht verstanden haben: Die Geschw. vom Igel ist kleiner als vom Hase. Nach meiner Logik ergeben sich noch Sachen wie: Die Geschw. vom Igel wird immer größer, da er immer weiter prozentual herankommt. Diese Beschleunigung wird immer kleiner, weil der zu verbleibende Weg trotzdem unverhältnismäßig immer mehr wird, er also prozentual pro Sekunde weniger schafft, da v konstant.
So, jetz möchte ich Gleichungen und Formeln und vorallem Ableitungen und Integrale sehen :P

Achso, die Aufgabe soll im 1. Semester Physik gestellt worden sein (*HUST* die Frage nach der Herkunft der Aufgabe sollte eig nix am Ergebnis ändern).
Ich selbst bin nochn naturwissenschaftliches Kellerkind (etwa Mastersrating), das gerade erstmal Abi hat.

Dieser Beitrag wurde bereits 2 mal editiert, zuletzt von »nC_Raegan« (16.06.2009, 15:43)


25

16.06.2009, 15:52

Ich glaub die Aufgabe macht nur Sinn wenn man erklärt von wem/wo u und von wem/wo v wahrgenommen/gemessen wird.

26

16.06.2009, 16:17

hmpf Eeagan, dann halt ein bisschen ernsthafter.

wir können das Problem eindimensional betrachten.

Die Dehnung ist bezeichnet als dL/L (deltaL durch Gesamtlänge). dL ist die Längendifferenz zw. zwei Werten. Nehmen wir jetzt einfach mal an, das seien der Einfachheit halber Messpunkte im Abstand jeder Sekunde.
Dieser Wert dL ist immer genau gleich, da der Hase pro Sekunde immer die gleiche Strecke sHase=v*t zurücklegt.
Die Gesamtlänge jedoch wid bei jedem Messpunkt um dL=sHase grösser und beträgt also L+n*dL mit n=Anzahl Sekunden.
Die Formel für die Dehnung lautet also
dL/(L+n*dL)
und geht für n -> unendlich gegen null.

Das heisst nichts weiter als, dass wenn der Igel die konstante Geschwindigkeit u RELATIV ZUM BAND hat, diese Geschwindigkeit u irgendwann für n -> unendlich grösser als die Dehnung ist.

Um das hier noch ein wenig Formell darzustellen:
Angenommen der Igel beginnt beim Band an der Stelle 0 mit Geschwindigkeit u. Er legt die Strecke sIgel = u*t zurück auf dem Band. Würde der Hase stehenbleiben, so wäre er logischerweise nach der Zeit t = u/L beim Hasen.
Da sich der Hase aber wegbewegt, dehnt sich das Band aus - gleichmässig.
Das heisst für den Igel, dass die Strecke, die er zurücklegen muss grösser wird um den Faktor e mal (L-L*)/L. e hier die Dehnung, L* die aktuelle Position auf dem Band, L die Gesamtbandlänge.
Da aber e gegen 0 geht für n -> unendlich wir die Strecke die er "mehr" zurücklegen muss ebenfalls gegen 0 gehen, während sIgel=u*t konstant bleibt.
Und wenn also keine Verlängerung mehr da ist, kann man die Position des Hasens als "ruhend" anschauen (keine Verlängerung -> Hase bewegt sich nicht mehr) und der Igel wird ihn erreichen.


Ein wenig verwirrend, aber man kann das zur Veranschaulichung gerne auch als Rechenbeispiel mit Zahlen machen. Ist mir nur grad zu blöd...

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »kOa_Master« (16.06.2009, 16:19)


27

16.06.2009, 16:17

Zitat

Original von Raegan
Achso, die Aufgabe soll im 1. Semester Physik gestellt worden sein (*HUST* die Frage nach der Herkunft der Aufgabe sollte eig nix am Ergebnis ändern).
Ich selbst bin nochn naturwissenschaftliches Kellerkind (etwa Mastersrating), das gerade erstmal Abi hat.


Ich hoffe doch, dass überhaupt keine Frage irgendwas am Ergebnis ändern kann. :P

Allerdings gibt die Herkunft von Aufgaben meistens einen Anhaltspunkt wer überhaupt in der Lage ist, so eine Aufgabe zu beantworten. Und vor allem wieviel Zeit man dafür in etwa brauchen wird.

1. Semester Physik ist für mich z.B. zu hoch. ;)

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »MfG_Stefan« (16.06.2009, 16:19)


28

16.06.2009, 16:53

Ich weiß nicht ob die Einführung einer Dehnung das Problem in den Griff kriegt, die wird ja nur 0 weil die Gesamtstrecke unendlich wird, dL ändert sich ja wie gesagt nicht und daraus folgt meines Erachtens nicht direkt, dass er jede Sekunde mehr zurücklegt als hinzukommt. Der Ansatz könnte natürlich auch komplett richtig sein :D.

Auch wird es dann bei mathematischer Betrachtung kritisch von Sekunden zu sprechen, da es sich ja unendlichstel-sekündlich aktualisiert und die Graphen keine groben Treppen sind^^

Aber wenigstens einer der mitdenkt :bounce:

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16.06.2009, 16:53

ich habs grad durch simuliert.

Die antwort lautet : NIE

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#include <iostream>
#include <fstream>

void igelhase()
{
	double v=0.51;	// geschwindigkeit hase
	double u=0.5;		// geschwindigkeit igel
	double u_abs;		// absolute geschwindigkeit igel
	double s_hase=0;	// weg hase
	double s_igel=0;	// weg igel (absolut)
	double n_s_hase;	// tmp 
	double n_s_igel;	// tmp
	int i=0;

	std::ofstream of("e:/haseigel.txt");
	
	of.precision(3);
	of << std::fixed;
	
	while(i++ < 5000000)
	{
		
		n_s_hase = s_hase + v;				//der weg des hasen = bandlänge (klar)
		
		if (s_hase>0)
		{
			u_abs = (s_igel/s_hase) * v + u;	//die absolute geschwindigkeit des igel ist die ausdehnung 
								//des bandes (in abhängigkeit der bereits auf dem band zurück gelegten wegstrecke.
		}						//plus seiner eigengeschwindigkeit, die er läuft
		else
		{
			u_abs = u;				//nur beim ersten schritt, weil sonst division durch 0
		}

		n_s_igel = s_igel+u_abs;			//aufaddieren
				
		s_hase = n_s_hase;				//ergebnisse für nächste runde speichern
		s_igel = n_s_igel;				//ergebnisse für nächste runde speichern

		if (i%1000==0)
			of << "sH:" << s_hase << "   sI:"<< s_igel << "   verh:"<< s_hase/s_igel << "  vI" << a_u <<"\n";
	}

	of.close();
}

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »kOa_Borgg« (16.06.2009, 17:02)


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16.06.2009, 16:59

Zitat

Original von kOa_Borgg
ich habs grad durch simuliert.

Die antwort lautet : NIE


Beachtet die Simulation meinen letzten Satz im jetz vorletzen Post?
Geschwindigkeit und Erhöhung der Geschwindigkeit ändert sich 0sekündlich, letzteres hängt wieder von der Position ab die durch ersteres verändert wird, es darf also nicht nur jede Sekunde abgerechnet werden, deswegen denke ich kann man einen Plott oder eine Simulation erst machen wenn man die richtige Ort/Zeit-Funktion oder eine Ente-Ableitung davon hat.