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Mathe Injektivität

Zecher_Websonic

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1

Thursday, March 1st 2007, 1:19pm

Mathe Injektivität

Hey Leute. Hab eine kleine Formfrage:

Quoted

Seien X und Y Mengen, sowie f : X -> Y eine Abbildung von X nach Y.

f heißt injektiv, wenn für alle y aus Y höchstens ein x aus X mit f(x) = y existiert.
(höchstens ein beinhaltet auch keines)

Äquivalente Formulierung:

f heißt injektiv, wenn für alle x1, x2 aus X gilt: Wenn f(x1) = f(x2), dann x1 = x2.


dies ist aus dem Wiki.
mir stellt sich jetzt eine Frage, weil ich es einfach nicht verstehen will.

Bei der ersten Aussagesteht "für alle y aus Y , also y € Y. d.h. für alle Elemente aus der Zielmenge Y höchstens ein Element aus der Bildmenge X (x € X). richtig?

ok... nun zur zweiten Aussage.

Da steht für alle x1, x2 aus X, also x1,x2 € X. was heißt das ? nehmen wir Menge X besteht aus 1,2,3. was ist mit dem x1,x2 nun gemeint? wieso schreibt man nicht wieder einfach x € X hin? wieso diese zwei Variablen x1,x2 statt einfach x1 ?

danke im voraus

This post has been edited 1 times, last edit by "Zecher_Websonic" (Mar 1st 2007, 1:21pm)

L_Clan_Hackl

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2

Thursday, March 1st 2007, 1:25pm

wenn ich mich recht entsinne heißt das übersetzt (achtung mathematiker bitte nicht lesen):
Injektiv = wenn du nur 1 Y-Wert pro X-Wert hast oder keinen ist die funktion Injektiv
;)

MfG_Stefan

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3

Thursday, March 1st 2007, 1:27pm

man will irgendwie aussagen, daß jedes x auf ein "eigenes" y abgebildet wird.
D.h. man geht entweder von Y aus und sagt, daß es für jedes y aus Y höchstens ein x gibt mit f(x)=y.

Will man das von X ausgehend machen reicht eben ein x1 nicht aus, da man irgendwie sagen will, daß es das einzige ist.
Deswegen braucht man ein beliebiges x2, das eben nicht auch auf y abgebildet werden darf.

Zecher_Websonic

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4

Thursday, March 1st 2007, 1:49pm

also deinen ersten Teil habe ich verstanden. nun aber von X ausgehend verstehe ich es nicht.

nehmen wir an unsere Menge X hat das Element x1 = 3. Wenn wir dieses Element nun auf Y abgebildet haben, ist doch alles in Ordnung? Dann sind alle X-Elemente "vergeben". ICh will einfach nicht verstehen,was man mit diesem X2 bezeichnet.

Sei die Menge X mit den Elementen 2,3,4. Dann bezeichne ich mit x1,x2 einfach beliebige zwei davon oder wie?

und was genau passiert beim Vorgang f(x1) = f(x2). Sei die Gleichung f(x) = 2x

setze ich hier jetzt 2x1 = 2x2 ?, dann kommt durch division von 2 auf beiden Seiten x1 = x2 raus. d.h. wäre x1 in dem Falle 2 und x2 wäre 4, heißt das jetzt 2=4 ?!?!?

MfG_Stefan

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5

Thursday, March 1st 2007, 1:56pm

falls die Menge nur aus einem Element besteht ist x2 natürlich nicht unbedingt nötig, die Menge ist eh injektiv, wenn du sie auf was abbildest, da das eine Element ja nur auf eines abgebildet werden kann.

Und ja, die Menge sei z.B. 2,3,4. Dann sind x1 und x2 zwei beliebige davon.
Angenommen du willst 2,3,4 auf 2,3,4 abbilden.
Dann wäre 2->4, 3->4, 4->4 eine mögliche Abbildung, die offensichtlich nicht injektiv ist. Denn 4 ist aus Y und auf 4 wird mehr als einmal abgebildet.

Das könntest du aber auch mit x1 und x2 nachprüfen.
Man nehme x1=2 und x2=3 dann folgt f(x1)=4=f(x2). Und auch das darf bei injektivität nicht sein.

Du kannst die x1, x2 also auch als Methode zum Überprüfen von Injektivität ansehen.

plexiq

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6

Thursday, March 1st 2007, 2:01pm

Quoted

Äquivalente Formulierung:

f heißt injektiv, wenn für alle x1, x2 aus X gilt: Wenn f(x1) = f(x2), dann x1 = x2.


Was das heissen soll:

Wenn du 2 Elemente der Definitionsmenge hast, die beide auf den gleichen Funktionswert abgebildet werden, dann müssen diese beiden Elemente ident sein. (Anders formuliert: Es gibt keine 2 verschiedenen Elemente der Definitionsmenge, die beide auf den gleichen Funktionswert abgebildet werden.)

This post has been edited 1 times, last edit by "plexiq" (Mar 1st 2007, 2:02pm)

myabba|schoki

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7

Thursday, March 1st 2007, 2:04pm

Man kann es sich auch bildlich vorstellen:

Du hast eine Funktion in einem kartesischen Koordinatensystem. Wenn du jetzt ne horizontale Linie irgendwo im Koordinatensystem gemacht hat, schneidet sich die Linie höchstens einmal mit dem Graphen.

Bei Surjektivität übrigens mindestens einmal.

Zecher_Websonic

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8

Thursday, March 1st 2007, 2:04pm

hey du machst das gut :)

nun aber nochwas. du sagst

Quoted

Man nehme x1=2 und x2=3 dann folgt f(x1)=4=f(x2). Und auch das darf bei injektivität nicht sein.


wie geht das? wie soll eine Gleichung aussehen, wenn bei zwei Verschiedenen x-Werten trotzdem das selbe rauskommt? als beispiel 2x kommt bei x1=2 -> 4 raus. aber x2=3 kommt doch 6 raus ?!

plexiq

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9

Thursday, March 1st 2007, 2:07pm

Quoted

wie soll eine Gleichung aussehen, wenn bei zwei Verschiedenen x-Werten trotzdem das selbe rauskommt?


y= 0*x
y= x²

Wären Beispiele für nicht injektive Funktionen.

Zecher_Websonic

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10

Thursday, March 1st 2007, 2:07pm

Quoted

Original von plexiq

Quoted

Äquivalente Formulierung:

f heißt injektiv, wenn für alle x1, x2 aus X gilt: Wenn f(x1) = f(x2), dann x1 = x2.


Was das heissen soll:

Wenn du 2 Elemente der Definitionsmenge hast, die beide auf den gleichen Funktionswert abgebildet werden, dann müssen diese beiden Elemente ident sein. (Anders formuliert: Es gibt keine 2 verschiedenen Elemente der Definitionsmenge, die beide auf den gleichen Funktionswert abgebildet werden.)


in einer Menge gibts doch aber keine zwei ident Elemente. das würde heißen diese Menge besteht aus nur einem Element ?!
Mit Funktionswert meinst du Zielmenge oder ?

myabba|schoki

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11

Thursday, March 1st 2007, 2:09pm

f(x) = x^2
x_1 = 2
x_2 = -2

f(2) = 4
f(-2) = 4

Verschiedene x-Werte, kommt das Gleiche raus

plexiq

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12

Thursday, March 1st 2007, 2:10pm

Errr, du bist aber pingelig:

Quoted

in einer Menge gibts doch aber keine zwei ident Elemente. das würde heißen diese Menge besteht aus nur einem Element ?!
Mit Funktionswert meinst du Zielmenge oder ?


Sei Element1 ein Element der Definitionsmenge und Element2 ein Element der Definitionsmenge. Falls die Funktion injektiv ist, und Element1 & Element2 auf den selben Funktionswert abgebildet werden, dann sind Element1 und Element2 ident.

MfG_Stefan

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13

Thursday, March 1st 2007, 2:12pm

Quoted

Original von Zecher_Websonic
hey du machst das gut :)

nun aber nochwas. du sagst

Quoted

Man nehme x1=2 und x2=3 dann folgt f(x1)=4=f(x2). Und auch das darf bei injektivität nicht sein.


wie geht das? wie soll eine Gleichung aussehen, wenn bei zwei Verschiedenen x-Werten trotzdem das selbe rauskommt? als beispiel 2x kommt bei x1=2 -> 4 raus. aber x2=3 kommt doch 6 raus ?!


wenn du die Abbildung y=2x nimmst, kannst du z.B. nachweisen, daß sie injektiv ist. Denn in dem Fall wirst du keine x1, x2 finden, für die gilt f(x1)=2*x1=2*x2=f(x2) AUßER x1=x2.
Vielleicht verwirrt dich das, du kannst nämlich durchaus x1=x2 wählen.

Zecher_Websonic

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14

Thursday, March 1st 2007, 2:15pm

ich glaub ich habs kapiert. danke euch :)

XaoMat

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15

Thursday, March 1st 2007, 6:21pm

sry, doofe frage, aber vllt weiß es jm hier schneller, wie wenn ich nachschlag:
und wie heißen funktionen, die mehrere werte pro x ausgeben?

Also z.B. f(z) = ln z (z element C)

und wie stellt man das dar?!

[pG]Sunzi

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17

Thursday, March 1st 2007, 7:01pm

nein, was xaomat meint geht eher in die funktionentheorie rein (also zb der komplexe logarithmus)

aber funktionen, die pro x mehrere werte haben gibt es schon allein definitionsgemäß nicht, da sowas niemals wohldefiniert sein kann

funktionenscharen sind auch nix anderes als abbildungen von z.B. R x T
wobei R relle Zahlen sin und T von mir aus auch R, also zb ist die funktionenschar

f(x)=x+t für ein t in R
nicht anderes als ne Abbildung
f: R x R --> R
(x,t) |------> x+t

Sheep

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18

Thursday, March 1st 2007, 7:26pm

Quoted

Original von [pG]Nalfein
aber funktionen, die pro x mehrere werte haben gibt es schon allein definitionsgemäß nicht, da sowas niemals wohldefiniert sein kann


Mit einem Tupel als Ergebnis funktioniert das, (EDIT) das Tupel ist aber natürlich erstmal auch nur ein Wert.

EDIT: Darstellen könnte man mehrere Rückgabewerte mathematisch mit Mengen, graphisch einfach durch zusätzliche Punkte im Diagramm.

Aber einen Namen kann ich leider auch nicht bieten. ?(

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Sheep

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19

Thursday, March 1st 2007, 7:39pm

... (hab nach ~2000 Postings auch mal n Selfquote statt Edit geschafft :rolleyes: )

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[pG]Sunzi

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20

Thursday, March 1st 2007, 8:16pm

was meinst du in diesem fall mit tupel?

es ist jedenfalls eine grundlegende eigenschaft von abbildungen das diese wohldefiniert sind

Sheep

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21

Thursday, March 1st 2007, 9:07pm

Quoted

Original von [pG]Nalfein
was meinst du in diesem fall mit tupel?


Einen Vektor (bzw. Matrix oder ein Konstrukt mit noch mehr Dimensionen).

[pG]Sunzi

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22

Thursday, March 1st 2007, 9:10pm

wieso sollte es dann sowas geben?
der begriff abbildung ist viel allgemeiner definiert

Erg_Raider

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23

Thursday, March 1st 2007, 9:15pm

Quoted

Original von [pG]Nalfein

es ist jedenfalls eine grundlegende eigenschaft von abbildungen das diese wohldefiniert sind


ja und deswegen wird in xaomats fall ein sog. hauptwert definiert. ebenso bei der komplexen wurzelfunktion, da sich andernfalls widersprüche erzeugen lassen....

also eine funktion/abbildung mit mehreren funktionswerten/bildern gibt es einfach per definition nicht.

This post has been edited 1 times, last edit by "Erg_Raider" (Mar 1st 2007, 9:16pm)

Sheep

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24

Thursday, March 1st 2007, 9:26pm

Quoted

Original von [pG]Nalfein
wieso sollte es dann sowas geben?


'n Beispiel: f:R->(R², R²):x->((x, 2x), (3x, x))

Ist wohldefiniert, enthält aber mehrere Skalare des Definitionsbereiches.

Das ist allerdings nicht das, worauf XaoMat hinauswollte.

XaoMat

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25

Thursday, March 1st 2007, 10:02pm

aber wie ist es denn nun mit meinem beispiel? (ln z) :(

was ist da der "sog. hauptwert"? immer der niedrigste wert?

[pG]Sunzi

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26

Friday, March 2nd 2007, 7:57am

Quoted

Original von Sheep

Quoted

Original von [pG]Nalfein
wieso sollte es dann sowas geben?


'n Beispiel: f:R->(R², R²):x->((x, 2x), (3x, x))

Ist wohldefiniert, enthält aber mehrere Skalare des Definitionsbereiches.

Das ist allerdings nicht das, worauf XaoMat hinauswollte.


((x, 2x), (3x, x)) ist für ein festes x aber auch nur ein Element im R^2xR^2

das es so "geht" ist klar, aber das ist nicht ansatzweise das was er meinte^^

[AA]Hawk

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27

Friday, March 2nd 2007, 12:12pm

Quoted

Original von XaoMat
sry, doofe frage, aber vllt weiß es jm hier schneller, wie wenn ich nachschlag:
und wie heißen funktionen, die mehrere werte pro x ausgeben?

Also z.B. f(z) = ln z (z element C)

und wie stellt man das dar?!


wiki:

Definition
Eine Funktion f weist jedem Element einer Definitionsmenge A (einem "x-Wert") genau ein Element einer Zielmenge B (einen "y-Wert") zu.

Also m.a.W. falls mehrere Werte pro x, dann nicht mehr Funktion ;)

[pG]Sunzi

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28

Friday, March 2nd 2007, 12:43pm

was oben auch schon alle gesagt haben ;-)

Erg_Raider

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29

Friday, March 2nd 2007, 1:08pm

z Element C :

ln(z) := ln(r) + i *phi

wobei gilt

z = r*[cos(phi) + i sin(phi)]

r Element R , r > 0

0< phi < 2 Pi


ist aber soweit ich unser script richtig verstanden habe nur eine (zweckmäßige) definition, die gleichung hat eine periodizität von 2Pi, wie du vermutet hast nimmt man deshalb einfach den kleinsten.

Erg_Raider

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30

Friday, March 2nd 2007, 1:11pm

falls du nen postscript reader hast und dich mehr dafür interessierst, in dem script ab seite 25 wird das problem ausführlich diskutiert. ist allerdings schon etwas schwerere kost wenn man kein mathe studiert, bzw. die funktionentheorie nicht ganz von anfang an aufarbeiten möchte ;)

http://www.mi.uni-erlangen.de/~barth/docs/anset3.ps

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