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Zu (2) Taylorreihe

Was ist dir da noch unklar?
Schreib am besten mal f(x+h) = f(x) + f'(x)h + 1/2 f''(x)h^2 + o(h^2) mit Taylorentwicklung zweiten Grades im Punkt x. Dann rechne alles aus, was du brauchst und stell es zusammen.

Zu (1) Es ist doch sehr kleinteilig beschrieben, was du machen sollst. Bei was hast du konkret Probleme?

Was unterscheidet gleichmäßig Konvergenz zu was?
Wenn du dir die Funktion anschaust, dann wird (-1,1) nur auf einen Teilbereich von R abgebildet, auf die nicht-negativen Zahlen (und da auch nur ein bestimmtes Intervall).

Jedes f_n ist als Funktion ein Folgeglied. Die Funktionen f_n nähern sich für n gegen unendlich immer mehr der Betragsfunktion an. Du sollst jetzt sagen, in welchem Sinne die Konvergenz ist und auch, in welchem Sinn dann die Konvergenz der Ableitungen. Jede Funktion f_n ist überall differenzierbar, die Betragsfunktion ist dies in x=0 jedoch nicht. Daher scheint bei einem bestimmten Konvergenzbegriff die Differenzierbarkeit nach dem Grenzübergang von f_n zu f nicht erhalten zu bleiben.

zu (2). Was 2. Grad bedeutet, hast du ja schon selbst herausgefunden. Du sollst das Taylorpolynom 2. Grades angeben. Das hast du anscheinend, also bist du fertig.
Rein praktisch gibt dir das Taylorpolynom vom Grad n eine Näherung der Funktion f(x) im Punkt x mit einem Polynom vom Grad n an, d.h. in diesem Fall eine Näherung mit einem quadratischen Polynom. So kannst du bspw. lokal immer sehen, ob du konvex oder konkav bist, d.h. lokal ein Minimum/Maximum haben kannst.
Taylorpolynom 1. Grades ist bei einer Funktion f:R->R die Tangente in diesem Punkt, also sowas wie die Ableitung. 2. Ableitung approximiert anschaulich ja auch lokal quadratisch usw.

uhm, ist das für analysis 1?


ich empfehle dir, dich nicht zur nächsten klausur anzumelden, deine lücken sind beachtlich und würden dich wahrscheinlich einen versuch kosten.

Was machst du denn aktuell wo? Reine Mathematik? Und wo willst du hin?

Und was meinst du mit Schein, den Übungszettel? Die müssten doch durch sein. Für den Schein müsstest du ja die Klausur bestehen?!

die fau is halt für alles außer medizin ne mistuni

a)
i) Da kann man sehr schnell eine invertierbare Marix P finden, wo A = PAP^-1
ii)Schreib mal hin, was A~B bedeutet und multiplizier dann mal Matrizen von rechts und links ran.
iii) AUch mal hinschrieben, was A~B und B~C bedeutet und dann mal einsetzten...

Die i) zB durch explizite Angabe von P: Es soll ja A=P*A*P^-1 ..... also...?
Bei ii) gilt A=P*B*P^-1 und du sollst P' finden, dass B=Q*A*Q^-1 ...............
bei iii) hast du etwa A=P*B*P^-1 und B=Q*C*Q^-1, einsetzen und begründen gg

Bei der 2) würd ich sogar behaupten, dass das aus der Def. folgt, Vertreter A (ach da gabs nen schöneres Wort) einer Äquivalenzklasse zu sein

Meinst Repräsentant?

Noch schöner :\

a) ist perfekt gelöst durch Bogo.

b)
Sei M die Menge der n\times n Matrizen über K, d.h. setze M := Mat(n\times n,K).
Es gilt A \in [A] für alle A \in M, daraus folgt M \subset \cup_{A\in M} [A] \subset M, d.h. M = \cup_{A\in M} [A].

Sei nun D \in [A] \cap [C], d.h. es gilt D~A und D~C, und wegen der Transitivität auch A~C, d.h. [A]=[C]. D.h. eine Äquivalenrelation zerlegt eine Menge M in eine Partition und jedes Element A der Menge M gehört dann zu genau einem Element der Parition, d.h. zu einer Äquivalenzklasse.

Für 2 Matrizen A und C gilt daher immer, entweder sie sind ähnlich zueinander, d.h. es gilt A \in [A] bzw. C \in [A] bzw. A \in [C] bzw. C \in [C], denn [A]=[C] in diesem Fall, oder aber die beiden Matrizen sind nicht ähnlich. Im letzten Fall gilt [A] \cap [C] = \emptyset, d.h. die beiden Äquivalenzklassen, welche von A bzw. C erzeugt werden, haben einen leeren Schnitt (was die Partition eben aussagt).

€dit: Musste wegen [ B ] fette Formatierung B mit C ersetzen, hoffe es stimmt so noch.

Man kann den Beweis, dass jede Äquivalenzrelation eine Partition erzeugt, sicher auch noch kleinteiliger führen. Musst zeigen, dass die Vereinigung über alle möglichen Repräsentaten von Äquivalenzklassen wieder die gesamte Menge ist, wie oben gezeigt (man kann noch etwas ausführlicher argumentieren). Dann musst du als zweites zeigen, dass [A] = [C] äquivalent dazu ist, dass die Elemente A,C aus M beide zur Teilmenge aus dem kartesischen Produkt M x M gehört, welche die Äquivalenzrelation festlegt.

Letztes zeigt man, dass immer entweder [A] \cap [C] = \emptyset oder [A]=[C] gilt.
Beweis durch Widerspruch: Angenommen es existieren A,C \in M mit (I) [A] \cap [C] \neq \emptyset und (II) [A] \neq [C]. Dann gibt es wegen (I) ein D \in [A] \cap [C], d.h. es gilt A~D und C~D. Wegen der Symmetrie haben wir D~C, wegen der Transitivität folgt aus A~D und D~C auch A~C. Wir hatten im letzten Absatz argumentiert, dass dann [A] = [C] gelten muss, im Widerspruch zur Annahme (II).

Zitat von »[*HS*] Lui«

Also wenn ich jetzt einfach für P ne invertierbare Matrix nehme, gilt das...? Zum Beispiel, dass alle Diagnolen 1 sind, weil dann ja P = P^-1? Das würde reichen?
Bei der 2) ist es also dann so, dass ich von link P^-1 und von rechts P ranrechne, dann hätte ich ja B = PAP^-1?
3) A= PBP^-1 B = PCP^-1 --> A = PPCP^-1P^-1 --> A = PCP^-1 ?

1) ja
2) fast, du hast dann B = P^-1AP und dan mit Q=P^-1, Q^-1 B = QAQ^-1 die gwünsche Form
3) Bei A und B hat man im Allgemeinen verschiedene Ps, also A=PBP^-1 und B=QCQ^-1, musst den Kram in dem Beweis nur noch richtig benennen.

i) A = IA(I^-1) = A
ii) A = PB(P^-1) => P^-1AP = (P^-1)PB(P^-1)P = B. Jetzt kannst du spaßeshalber noch (P^-1) =: R setzen und erhälst B = RA(R^-1).
iii) A = PB(P^-1) und B = QC(Q^-1), B in erste Gleichung einsetzen und nenne PQ =: S ergibt A = P[QC(Q^-1)](P^-1) = SC(S^-1), d.h. A~C mit Ähnlichkeitstransformation S.

Sei f eine lineare Abbildung.

f(v) = lambda*v
f(w) = lambda*w
f(v+w) = lambda*(v+w)

Wenn der Eigenraum zu einem Eigenwert lambda sowohl v als auch w enthält, so ist auch jede Linearkombination von v,w ein Eigenvektor zu diesem Eigenwert.