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Gestern hatten zwei Kollegen über alte Computer gesprochen und mir viel dabei Moores Law ein, daß sich die Computer etwa alle 18 Monate verdoppelt (das es nach Wikipedia im Original 24 Monate waren wusste ich zu dem Zeitpunkt noch nicht).

Der Computer war 8 Jahre alt, also müsste ein heutiger 2^(8*2/3) mal so schnell sein - meinte ich einfach so. Weil mich meine Kollegen dann etwas komisch angeschauten hatten, musste ich es vorrechnen.

Ich habe also gesagt x = 2^(16/3) <=> ln x = 16/3 * ln 2 ist ungefähr 16/3 * 0,7 (hatte keine Lust mit 0,693 wieterzurechnen ^^), also 16/3 * 7/10 = 112/30, was 3 ganze und 22/30 = 11/15 entspricht. 10/15 wären 2/3 = 0,667, also 1/15 = 0,067 und 11/15 demnach mit abgeschnittenen Stellen 0,734.
Jetzt musste ich nur wieder zurücktransformieren, also exp(3,734) ausrechnen.

Die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion hilft mir da nicht wirklich weiter. Also wie jetzt am besten ausrechnen?

Wenn man auf 4 runden würde, dann würde man auf exp(4) kommen, = exp(2)^2. exp(2) ist rund 2,7^2 (wir können ja ruhig großzügig abrunden, um das vorherige aufrunden bei der Exponentialfunktion wenigstens halbwegs in den Griff zu bekommen). Also dies ist 2,5² + 1 + 0,04 = 7,29. 7,3^2 wäre 7,5^2 - 3 + 0,04 = 53,29.

Nur durch die Exponentialfunktion und das Runden von 3,734 auf 4 ist dies sicherlich viel zu groß.

Also die Frage: Wie kann man im Kopf halbwegs genau ne Exponentialfunktion abschätzen? Zu Logarithmen gibt es meineswissens auch keine wirklich guten vernüfitgen Regeln, aber ln 2 war einfach und weil ich vom Finance her oft mit exp und ln rechne, kann ich es schon halbwegs abschätzen.

btw, in dem Gespräch hatte ich exp(3,734) einfach mit 40 geschätzt - und hatte damit riesenhaftes Glück, daß es so nah an der waren Lösung lag. ^^ Aber wie gesagt, zumindest ich weiß ja, daß es mehr Glück und etwas Gefühl als ausrechnen waren, bis dahin wars einfach und man konnte es einfach hinerteinander runtersagen.

@pitt: Es geht ja nicht um das kkonkrete Beispiel, sondern allgemeiner um das Kopfrechnen. Zudem geht es nicht ums verstehen, die sind schon alle durchweg intelligent hier. Es ging eher um ne schnelle Abschätzung der Größenordnung, welche möglichst genau ist.

@Napo: Hm, Talorreihenentwicklung rockt nicht so wirklich, da habe ich ja durch die ganzen Ableitungen nen haufen Exponentialfunktionen, welche ich addieren darf --> ist zwar immer die gleiche, aber die muss ich halt erstmal ausrechnen.
Um Null zu entwicklen, also quasi über die normale Reihenentwicklung zu gehen ist aber wirklich nicht so schlecht, wie von mir gedacht. Da bekomme ich erstmal mit exp(0) = 1 die Ableitungen raus, dann gehts ganz gut, weil 4 ja 2^2 ist und Potenzen von 4 sich schön als 2^(2*x) darstellen lassen.

1 + (2^2)/1 + (2^4)/2 + (2^6)/6 + (2^8)/24 + (2^10)/120
= 1 + 4 + 8 + 64/6 + 64/6 + ~102/12
= 13 + 128/6 + 51/6
= 13 + 179/6
= 13 + 29,833 (30 - 1/6, Glück das so einfach ^^)
= 42,833

Aber für größere Werte, vor allem welche, welche keine Zweierpotenzen sind, ist diese Methode wohl nicht wirklich praktikabel im Kopf. Zudem finde ich es doof sich so viele Summanden merken zu müssen. Schriftlich geht es ja, aber im Kopf addiert man dann immer drauf, und da vereinfacht es sich sicher nicht so schön. -_-

Hawk hat bis jetzt die mit Abstand beste Methode. Muss ich dann mal, wenn ich bissel Zeit habe, bissel austesten.
Bei Plexiq klappt es so gut, weil die Basis 2 ist. Mein Problem war ja nur der Aufhänger, die Frage zielt wirklich nach eleganten und möglichst auch allgemeingültigen methoden, um Exponentialfunktionen abzuschätzen (oder ln's)!
Ansonsten ja, man hätte auch direkter schätzen können, aber wie schon gesagt: wenn die Zahlen nicht gut sind (Basis!), dann kommt man da in arge Probleme, 2,7^2,3 oder sowas.

Ich habe bewußt 2,7^2,3 gewählt. ^^ 2,7 ist doch recht nah bei e.