Kummersches kriterium

GWC_Valley

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Thursday, June 1st 2006, 6:25pm

hi! ich brauch dringend den beweis dafür.. find nix in der hinsicht

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MfG_Stefan

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Thursday, June 1st 2006, 6:43pm

nur interessehalber was ist das denn?

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GWC_Valley

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Thursday, June 1st 2006, 6:49pm

für konvergenz von folgen ^^ höhere mathematik 2

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para

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Thursday, June 1st 2006, 6:56pm

Sag mir, was ihr in der Vorlesung als Kummersches Kriterium bezeichnet habt, dann beweis ich es Dir.

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L_Clan_Hackl

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5

Thursday, June 1st 2006, 6:58pm

thorsten

?

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GWC_Valley

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Thursday, June 1st 2006, 7:05pm

http://w3rw.mathematik.uni-stuttgart.de/…beitsblatt1.pdf
4.1.B

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MfG_Stefan

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Thursday, June 1st 2006, 11:25pm

hoffentlich nützt es noch was und ist richtig ^^
d= delta>0
geg. : K=cn* an/a(n+1)-c(n+1) >=d

=> cn an/a(n+1) >= d+c(n+1)
da cn positiv => an/a(n+1) >=(d+c(n+1))/cn
(alles positiv)=> an+1/an<=cn/(d+c(n+1))
da cn monoton wachsend ist obiger Term <1 => nach Quotientenkrit. ist an konvergent.

andere Richtung K<=0
analog kommt man auf:
a(n+1)/an>=c(n+1)^-1/cn^-1 da cn^-1 schon divergiert gilt das auch für an. (Majorantenkriterium, bzw. eher das Gegenteil ^^)

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para

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Friday, June 2nd 2006, 1:57pm

Quoted

Original von L_Clan_Hackl
thorsten ?

Hi Ben

Quoted

Original von MfG_Stefan
(alles positiv)=> an+1/an<=cn/(d+c(n+1))
da cn monoton wachsend ist obiger Term <1 => nach Quotientenkrit. ist an konvergent.

Das ist falsch, fürs Qutientenkriterium müsste es q<1 geben, so dass a(n+1)/a(n) < q für alle n >= n0, gibts hier nicht notwendigerweise. Da muss man die Divergenz der Reihe über (1/c(n)) noch reinpacken.

Die Divergenzaussage passt.

@Valley: Heute abend hätte ich kurz Zeit das zu machen, wenns Dir dann noch was hilft...

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GWC_Valley

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Friday, June 2nd 2006, 3:23pm

klar hilfts mir dann noch was, fänd ich voll cool

wenn du mal in stuttgart bist oder auf ner lan, lad ich dich aufn bier ein ^^

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MfG_Stefan

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Friday, June 2nd 2006, 3:24pm

Quoted

Original von para

Quoted

Original von MfG_Stefan
(alles positiv)=> an+1/an<=cn/(d+c(n+1))
da cn monoton wachsend ist obiger Term <1 => nach Quotientenkrit. ist an konvergent.

Das ist falsch, fürs Qutientenkriterium müsste es q<1 geben, so dass a(n+1)/a(n) < q für alle n >= n0, gibts hier nicht notwendigerweise. Da muss man die Divergenz der Reihe über (1/c(n)) noch reinpacken.

Die Divergenzaussage passt.

hm, was ist daran nun falsch/anders?
es wäre halt z.B. dein q:=cn/(c(n+1)+d/2) und das ist kleiner als 1, da cn monoton wachsend. Damit gilt: a(n+1)/a(n) < q.
Edit: bzw. ausführlicher: a(n+1)/a(n) <=cn/(d+c(n+1))<cn/(c(n+1)+d/2)=: q

This post has been edited 3 times, last edit by "MfG_Stefan" (Jun 2nd 2006, 5:55pm)

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para

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Monday, June 5th 2006, 11:22pm

Quoted

Original von MfG_Stefan

hm, was ist daran nun falsch/anders?
es wäre halt z.B. dein q:=cn/(c(n+1)+d/2) und das ist kleiner als 1, da cn monoton wachsend. Damit gilt: a(n+1)/a(n) < q.
Edit: bzw. ausführlicher: a(n+1)/a(n) <=cn/(d+c(n+1))<cn/(c(n+1)+d/2)=: q

Hi Stefan.
Das Problem ist hier, dass das q<1 unabhängig von n ab einer gewissen Schranke gewählt werden können muss. Mach Dir das am besten nochmal am Beweis des Quotientenkriteriums klar (Abschätzung gg. geom. Reihe in q).
Nach Deiner Argumentation wäre z.B. die harmonische Reihe konvergent.

Quoted

Original von GWC_Valley
klar hilfts mir dann noch was, fänd ich voll cool
wenn du mal in stuttgart bist oder auf ner lan, lad ich dich aufn bier ein ^^

Sorry, dass ich mein Versprechen nicht einhalten konnte, mir ist was dazwischen gekommen. Ich hoffe Dein Angebot mit dem Bier steht trotzdem noch, komme bei Gelegenheit drauf zurück

.

Hier der Beweis:

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