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k, hast recht mit dem 0=0 hab ich den 2 er mal kurz aus der Klammer rausgezogen ^^

Ich hab auch eine Aufgabe aus der letzten Matheklausur.

Was ist das unbestimmte Integral von

Wurzel x : (1+ Wurzel x) dx


Es müßte durch eine geeignete Substitution lösbar sein, nur fand ich sie nicht. Für einen Lösungsweg wäre ich sehr dankbar.

Zitat

Original von WW_Ronin
Was ist das unbestimmte Integral von

Wurzel x : (1+ Wurzel x) dx

Das mit dem Weizen und Mais fand ich sympathischer.

Nagut...

Ich habe als Substitution y = 1 + wurzel x gewählt.

dy / dx ist dann 1 / (2 * wurzel x)

dx ist damit 2 * wurzel x dy

Mit x wollen wir aber nichts mehr zu tun haben, also setzen wir wurzel x = y-1 in die Gleichung ein, das resultiert, wenn man die Substitutionsgleichung nach x umformt.

Aus dx = 2 wurzel x dy wird also 2(y - 1) dy.

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Nun das ganze ins Integral eingesetzt, insbesondere das dx durch den Term mit y und dy ersetzt...

((y-1) / y) * 2(y-1) dy ist zu integrieren

Die 2 kann man aus dem Integral herausziehen, damit ist sie erstmal uninteressant...

((y-1) / y) * (y-1) dy bleibt

Per Ausmultiplizieren wird daraus (y - 2 + 1 / y) dy

Das lässt sich problemlos integrieren, da es nur drei Summanden sind: aus y wird 1/2 y², aus -2 wird -2y und aus 1/y wird ln(y).

Also: 1/2 * y² - 2y + ln(y)

Jetzt den Faktor 2 vom Integral reinmultiplizieren, den wir erstmal ausgeklammert hatten...

y² - 4y + 2 * ln(y)

Jetzt nur noch y wieder durch 1 + wurzel x ersetzen, das wird ein wenig eklig...

(1 + wurzel x)² - 4(1 + wurzel x) + 2 * ln(1 + wurzel x)

= x - 2 *wurzel x + 2 ln (1 + wurzel x) - 3 + c c Element R

Das c nicht vergessen, wenn nach einer allgemeinen Lösung gefragt wird. c wegzulassen, wenn nur nach einer speziellen Lösung gefragt ist, ist in Ordnung, da c dann ja 0 sein könnte.

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Ich habe den ganzen Mist dann wieder abgeleitet und kam (bis auf einen Ableitungsfehler: Kettenregel, brr) wieder auf den zu integrierenden Term.

Thx

Wo wir grade bei Integralrechnung sind:
f'(x)=x* f(x) ; f(x) =?
viel spass

Scherzfrage?

(die triviale...)
f(x) = 0
f'(x) = 0 = x*0 = x*f(x)

oder

f(x) = e^(x²/2)
f'(x) = x * e^(x²/2) = x*f(x)

...hm, gibts sicher noch mehr, kA

@ Sheep:
Noch eine Frage. Am Anfang ist mir unklar wie du von der Substitution 1 + Wurzel x auf dy:dx = a:2*wurzel x kommst. Der Rest is dann ja wieder einfach.

Zitat

Original von WW_Ronin
Am Anfang ist mir unklar wie du von der Substitution 1 + Wurzel x auf dy:dx = a:2*wurzel x kommst.

dy / dx ist nichts anderes als die formale Schreibweise für "y nach x abgeleitet". Man kann dy und dx jeweils als Variable auffassen und beliebig damit rechnen, nur darf man das nicht als d*y bzw. d*x interpretieren.

y ist 1 + wurzel x, das kann man auch schreiben als 1 + x hoch 1/2 (Wurzeln umzuformulieren steigert die Übersicht beim Integrieren / Differenzieren enorm).

Und (1 + x ^ (1/2)) ' = (0 + 1/2 * x ^ (- 1/2)), beim Ableiten von x hoch a (a konstant) wie gewohnt den Exponenten a davormultiplizieren und ihn danach um eins reduzieren.

PS: Einen Algorithmus zur Festlegung günstiger Substitutionen gibts meines Wissens nach nicht - hier hilft nur Üben. Es gibt ein paar Erfahrungswerte wie y = tan (x / 2) für Winkelfunktionen, aber ansonsten hilft nur herumzuprobieren und rechtzeitig abzubrechen, wenn es nicht klappt.

Ok danke, jetzt ist mir alles klar. Viele von den Schreibweisen bin ich aus der Schule einfach nicht gewohnt.
Übrigens mein MatheDoktor hat das ähnlich ausgedrückt "scharf hinschauen und hoffen, dass man etwas findet" ^^
Ich werd das mal üben, dannach kommen Differentialgleichungen dran, aber das ist ja einfacher.

plexiq, ging ja schneller als erwartet

ronin: differentialgleichungen sind einfacher??
dann lös doch mal:
f''(x) - f(x) + 2*x² = 0

Nächste: Es seien a,b und c nichtnegative Zahlen mit a+b+c <=2pi. Beweisen sie:
cosa+cosb+cosc>=cos(a+b)+cos(b+a)+cos(c+a)

In welchen Fällen gillt das gleichheitszeichen.....


so viel spaß....landesolympiade SA

Zitat

cosa+cosb+cosc>=cos(a+b)+cos(b+a)+cos(c+a)

macht keinen sinn, sollte:

Zitat

cosa+cosb+cosc>=cos(a+b)+cos(b+c)+cos(c+a)

heissen?

ähm ja

Zitat

cosa+cosb+cosc>=cos(a+b)+cos(b+c)+cos(c+a)

ich versuch mich grad an der Aufgabe, mein Ansatz:

ein Winkel ist 90°, sonst is ja kein rechtwinkliges Dreieck.
Damit ist die Summe der anderen beiden Winkel ebenfalls 90°, weil die Winkelsumme im Dreieck 180° ist.

c ist der 90° Winkel und cos90° = 0, das ergibt die neue Gleichung:
cos a+cos b >= cos(a+b) + cos(a+c) + cos(b+c)

und da a+b zusammen ja 90° ergeben fällt das schonmal weg (weil 0), also:

cos a + cos b >= cos(a+c) + cos(b+c)

da a+c und a+b immer größer 90° sind und bei >90° der cos einen negativen Wert ergibt, kann die rechte Seite nicht mehr größer als die linke werden.

Aber wann gilt das Gleichheitszeichen?
Ich denke es geht nur, wenn einer der beiden Winkel a und b null wird, dann ergibt sich aus der Gleichung
0=0
und das Gleichheitszeichen würde gelten, dann hätten wir aber kein echtes Dreieck mehr.
Eine andere Lösung find ich aber nich, weil die Rechte Seite ja sonst immer negativ wird.