MastersForum

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Original von GEC|Napo
Trotzdem hat man es nur mit einer endlichen Zahl von Zahlen zu tun, da die Größe des Umschlags ja beschränkt, und damit auch des Papiers, die hineingeht.

Naja, dieses Argument kann man leicht auf ein anderes umleiten. Es sagt ja niemand, zu welcher Basis er die Zahl da reinschreibt, man muss sich ja nur einigen. Also stell dir eine extrem große Basis. Dazu müssen die Zeichen ja nur um Nuancen unterschiedlich sein, in der Messgenauigkeit eines Mikroskops etc.

A priori kann man es also es also nicht eingrenzen. Zudem ist es eher ein mathematisches Problem, ich habe es nur in ein reales umgewandelt, weil es so beeindruckender erscheint.

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Original von GEC|Napo
Kommt natürlich auch auf den Moderator an, wenn die Zahlen wirklich zufällig gewählt werden, dann muss man halt bei > 0 auf größer entscheiden etc, aber bei einem menschlichen Moderator ist es fast unmöglich da eine vernünftige Dichtefunktion/Verteilungsfunktion als Entscheidungskrierium anzugeben.

Der Moderator zieht gleichverteilt. Bitte das jetzt nicht auseinander reden, natürlich kann eine Gleichverteilung nicht auf ganz IR existieren, wir stellen es uns einfach mal vor. Darin liegt nicht die Lösung, wäre auch denkbar doof.

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Original von GEC|Napo
Ach ich bin mir gar nicht mehr sicher, wie soll zB eine Gleichverteilte Dichtefunktion auf den reellen Zahlen aussehen? Da müsste ja jedes beschränkte Intervall Maß 0 haben, klar ist die Wahrscheinlichkeit einer Zahl < oder > 0 gleich 0,5, aber irgendwie scheints auch egal zu sein wo man die Granze setzt.
Wahrscheinlich kann man eine reelle Zahl gar nicht wirklich zufällig generieren.

Kann man in der Realität wahrscheinlich nicht, aber es ist ja auch in erster Linie ein mathematisches Problem, also nehmt die Aufgabenstellung einfach so hin und versucht nicht, künstliche Einschränkungen durch die Realität zu erreichen.

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Original von El_Marinero
Wie soll man hier irgendetwas vorhersagen, ohne die Verteilungen bzw. Dichten zu kennen?

Der Moderator zieht "gleichverteilt", alles andere ist doch egal?!

Ich kann ja jetzt zumindest einmal die Frage beantworten: Es ist möglich, mit einer Wahrscheinlichkeit von echt > 1/2 richtig vorherzusagen.
Also könnt ihr noch etwas drüber nachdenken.

btw., es wird keine Hardcore-Mathematik verwendet, eigentlich nur Abiturniveau.

€dit:
@plizzz:
Netter Ansatz, aber so geht das leider nicht. Wieso weißt du denn überhaupt, dass du einen Erwartungswert sinnvoll bilden kannst, wenn einzelne Zahlen sehr groß bzw. klein sein können? Eine einzige Zahl kann alle anderen dominieren. Zudem, über den Moderator habt ihr alle Informationen bekommen, da gibt es nichts zu schätzen. Es liegt nicht an der Methode, wie der Moderator die Zahlen zieht.

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Original von [AA]Hawk
dann war aber dein nein auf mein Zitat schon unglücklich gepostet, da du das nein unter die Antwort gesetzt hast, die du jetzt gibst ich nehme mal an, dein nein sollte sich ausschließlich auf mein "Verfahren" beziehen

Naja, alles was ich von dir zitiert hatte war nicht richtig, von daher "nein".
Du hattest erst ein Verfahren gepostet und dann was von "gefühlt" gesagt, was auch falsch war.

pitt82 ist schon gar nicht mal schlecht mit dem Vorschlag...

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Original von HarLe
Spielt man von +unendlich bis -unendlich und zieht dabei die positive zahl X, so sagt man kleiner, da es noch die 0 und -X gibt, die zusätzlich kleiner sind als die zahl X, die gezogen wurden. Die wahrscheinlichkeit ist somit größer 1/2 eine kleinere zahl zu ziehen.
Zieht man am anfang die 0, so ist die wahrscheinlichkeit 1/2.

Dem liegt doch das falsche! Argument zugrunde, dass es mehr ganze Zahlen kleiner als 1, als ganze Zahlen größer als 1 gibt. Das kam doch im Thread schon ein paarmal.

Wenn niemand eine Lösung weiß, kann ich es ja heute abend mal auflösen.

Also, dann löse ich es mal auf. Man bräuchte LaTeX im Mastersforum.

Zuerst definiere ich mal ein paar Variablen, um das Problem mathematisch beschreiben zu können.

Seien x<y reelle (oder ganze) Zahlen. Dies sollen die beiden Zahlen aus den Umschlägen sein, wobei x die kleiner der beiden, y die größere bezeichnet.

Wir beobachten eine Zufallsvariable B=b, wobei b die Zahl des geöffneten Umschlags ist, d.h. die Zufallsvariable "Beobachtung" B kann entweder den Wert x ode y annehmen. Wissen wir (noch) nicht, welcher der beiden Werte es wirklich ist, also der kleinere (x) oder der größere (y), so wollen wir unsere Bobachtung b nennen.

Sei weiterhin M eine Bernoulli-verteilte Zufallsvariable mit Eintrittswahrscheinlichkeit 1/2, d.h. M ist der Moderator. Mit Wahrscheinlichkeit P[M=0 => B=x] = 1/2 öffnet der Moderator den Umschlag mit der kleineren Zahl x. Wir wissen zu diesem Zeitpunkt natürlich nicht, ob es sich im die kleiner Zahl x, oder um die größere Zahl y handelt, da wir nur die Zahl sehen.
Entsprechend öffnet der Moderator mit P[M=1 => B=y] = 1/2 den Umschlag, welcher y enthält.

Ziel ist es jetzt also, die bernoulliverteilte Zufallsvariable M mit einer Wahrscheinlichkeit von echt > 1/2 richtig vorherzusagen.

Wir werden im folgenden eine neue Zufallsvariable konstruieren, welche von unserer Beobachtung B abhängt und daraus M vorhersagt.

Dazu nehmen wir eine (beliebig) normalverteilte Zufallsvariable Z~N(mu,sigma), Z und M sind unabhängig. Wenn wir einfach nur eine normalverteilte Zufallsvariable ziehen, dies dies offensichtlich unabhängig von der Ziehung des Moderators, M.

Jetzt kommt der eigentliche Clou: Wir konstruieren eine Zufallsvariable E, wie "Entscheidung", welche nur von den uns bekannten Größen, der Beobachtung B und der gezogenen, normalverteilten Zufallsvariable Z abhängt. Einfachstmöglich definieren wir E := 1{Z<B} mit 1{} der Indikatorfunktion. Dies bedeutet, ich vergleiche meine aus einer Normalverteilung gezogene Zufallsvariable Z mit der Beobachtung, d.h. der Zahl aus dem bereits geöffneten Umschlag. Immer, wenn meine Zufallsvariable kleiner ist als die beobachtete Zahl, dann soll E=1 sein, ansonsten (Z>=B) soll E=0 sein.
Da die Beobachtung B vom Moderator M ausgewählt wurde, hängt B von M ab, also muss E auch von M abhängen => speziell kann E nicht unabhängig von M sein.

Jetzt verbleibt uns diese konstruierte Abhängigkeit noch auszunutzen, um daraus unsere Vorhersage zu erhalten und zu zeigen, dass diese tatsächlich mit einer Wahrscheinlichkeit > 1/2 richtig entscheidet.

Erinnern wir uns an die Definition von B, in Abhängigkeit von M. Immer wenn die bernoulli-verteilte Zufallsvariable "Moderator" M=0 ist, hat der Moderator uns den Umschlag mit der kleinern Zahl x gegeben, d.h. unsere Beobachtung B=x. Wenn M=1, dann ist folglich analog unsere Beobachtung B=y.

Diesen Zusammenhang benutzen wir jetzt, wenn wir die Wahrscheinlichkeit dafür ausrechnen wollen, dass unsere Zufallsvariable "Entscheidung" E tatsächlich die richtige Entscheidung war, d.h. dass E=M.

P[E=M] = P[{E=1} und {M=1}] + P[{E=0} und {M=0}]

Setzen wir die Definition von E ein, ergibt sich:

P[E=M] = P[{Z<B} und {M=1}] + P[{Z>=B} und {M=0}]

Wir entscheiden immer dann richtig, wenn die Zufallsvariable Z kleiner als unsere Beobachtung war und der Moderator auch 1 gewürfelt hatte, d.h. uns den Umschlag mit y gegeben hatte, oder wenn wir eine Zufallsvariable größergleich unserer Beobachtung ziehen und der Moderator eine 0 gewürfelt hatte, d.h. uns den Umschalg mit x gegeben hatte.

Die beliebige normalverteilte Zufallsvariable Z wird unabhängig vom Moderator M gezogen und hat mit diesem nichts zu tun, daher sind Z und M unabhängig. In obigen Summanden der Wahrscheinlichkeit steht eine Bedingung mit "und" (Schnitt), welche bei unabhängigen Zufallsvariablen faktrisiert, d.h. kann man sie als Produkt schreiben. Dies ist das gleiche wie wenn ich sage die Wahrscheinlichkeit von "Es regnet draußen und ich würfle eine 6" ist das gleiche wie die Wahrscheinlichkeit, dass "es draußen regnet" multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, dass ich "eine 6 würfel".
Damit ergibt sich, wenn man für die Beobachtungen jeweils den beobachtenten Wert x bzw. y einsetzt:

P[E=M] = P[{Z<y}]*P[{M=1}] + P[{Z>=x}]*P[{M=0}]

Wir wissen bereits, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der Moderator M auf den einen Umschlag entscheidet 1/2 ist, ebenso für den anderen Umschlag, also gilt mit P[{M=0}] = 0.5 = P[{M=1}]:

P[E=M] = P[{Z<y}]*0.5 + P[{Z>=x}]*0.5 = 0.5 * (P[{Z<y}]+ P[{Z>=x}])

Versuchen wir uns einmal das Ereignis aus P[{Z>=x}] vorzustellen: Die gezogene normalverteilte Zufallsvariable Z ist also größergleich dem kleineren Wert x. Dies kann entweder bedeuten, dass Z zwar größergleich x, aber trotzdem noch kleiner als y ist, da ja x>y gilt. Oder aber Z ist auch größergleich y. Formal können wir die hintere Wahrscheinlichkeit also in 2 Teile aufspalten:

P[E=M] = 0.5 * (P[{Z<y}] + P[{Z>=x} und {Z<y}] + P[{Z>=y}])

Die mittlere Wahrscheinlichkeit bedeutet ja gerade, dass die normalverteilte Zufallsvariable Z zwischen x und y liegt, genauer: x<=Z<y, also können wir dies auch schreiben als:

P[E=M] = 0.5 * (P[{Z<y}] + P[{x<=Z<y}] + P[{Z>=y}])

Die beiden äußeren Wahrscheinlichkeiten verlangen, dass Z einmal kleiner als y, einmal größergleich y ist. Egal welches Z man gezogen hat, für alle y kann nur eine der beiden Aussagen richtig sein, d.h. die den beiden Wahrscheinlichkeiten zugrundeliegende Ereignisse sind komplementär zueinander. Die Wahrscheinlichkeit, dass entweder Z<y oder Z>=y ist, ist demnach 1 - eines von beiden ist immer wahr.
Wir haben also stehen:

P[E=M] = 0.5 * (1 + P[{x<=Z<y}]) = 0.5 + 0.5*P[{x<=Z<y}] > 0.5

Die letzte Ungleichung gilt offensichtlich, da wegen x<y eine normalverteilte Zufallsvariable immer eine echt postive Wahrscheinlichkeit P[{x<=Z<y}] > 0 hat, zwischen den beiden Zahlen zu landen.

Folglich können wir mit dieser Konstruktion mit einer Wahrscheinlichkeit > 1/2 richtig vorhersagen, ob die Zahl auf dem Zettel die größere oder die kleinere ist.

Dazu zieht man einfach eine beliebig normalverteilte Zufallsvariable, bspw. Z~N(0,1) oder Z~N(16,6). Ich will damit verdeutlichen, dass man nicht etwa "hintenrum" über die Verteilung der Zufallsvariable Z, indem man eine Zentrierung um 0 und eine symmetrische Verteilung fordert, wieder dieses >0 oder <0 rein kommt. Dies ist eben gerade nicht der Fall, man könnte auch aus einer beliebig anderen Verteilung ziehen, deren Eigenschaften man sich jetzt leicht überlegen kann.

Gilt für die Zufallsvariable Z<B => E=1 => P[E=M]>0.5 => ich nehme M=1 an => man entscheidet, dass die beobachtete Zufallsvariable B=y war, also die größere von beiden.
Gilt für die Zufallsvariable Z>=B => E=0 => P[E=M]>0.5 => ich nehme M=0 an => man entscheidet, dass die beobachtete Zufallsvariable B=x war, also die kleinere von beiden.

Was wirklich ausgenutzt wurde ist, dass ich mehr Informationen gegeben habe, als für Unabhängigkeit notwendig: Ich weiß nicht nur, dass es 2 Zahlen x,y gibt sondern auch, dass eine von beiden echt kleiner als die andere ist. Diese Information muss ich nur geeignet ausnutzen. Hier Konstruiere ich eine unabhängige Zufallsvariable Z, welche aber mit positiver Wahrscheinlichkeit in die "Lücke" zwischen x und y fällt. Dies gibt mir die Wahrscheinlichkeitsmasse die ich benötige, um besser als nur mit Wahrscheinlichkeit 1/2 vorhersagen zu können.

Ich glaube, dies ist ein ganz interessantes Beispiel. Ich habe bewußt versucht möglichst viele der Formeln und alle Umformungsschritte zu erklären, damit es auch von Nicht-Mathematikern nachvollzogen werden kann.

Für die Mathematiker: Wir definieren die Zufallsvariable "Entscheidung" E auf dem Produktwahrscheinlichkeitsraum von der bernoulliverteilten Zufallsvariable "Moderator" M und der davon unabhängigen normalverteilten Zufallsvariable Z. Die Wahrscheinlichkeiten sind also, ej nach Kontext, die Maße auf dem dem Produktraum oder den einzelnen Räumen. Das tut aber nicht viel zur Sache, den "Trick" der richtigen Informationsausnutzung habe ich ja heuristisch weiter oben beschrieben.

8)

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Original von Chevron
Aber wir müssen dabei im Kopf behalten, dass es weder eine Gleichverteilung auf den reellen Zahlen noch eine größte Primzahl gibt, und dass alles, was wir aus einer solchen Annahme folgern, ziemlicher Käse sein kann

Vielleicht sollte man besser annehmen, dass der Moderator einer beliebigen Wahrscheinlichkeitsverteilung folgt, die der Spieler nicht kennt.

Ich habe es jetzt ml hart formuliert.

Man sagt übrigens einfach: Es existieren x,y beliebig mit x<y aus den reellen, oder den ganzen Zahlen. Das wird man doch wohl noch sagen dürfen, oder? Es geht ja nicht um das reale Problem, diese Zahlen tatsächlich aufzuschreiben: Dies ist in der Tat unmöglich. Aber das ich das einem Mathematiker erklären muss... es scheint, die Mathematiker hier haben einfach den Ansatz nicht gesehen und es nicht rausbekommen und mussten sich deswegen auf solche Nichtigkeiten stürzen, die sie mit einem Mindestmaß an eigenem Nachdenken auch hätten reparieren können. Das sollte man als Mathematiker schon noch schaffen, solch ein Problem mathematisch hart modellieren können.

Es steht ja nicht umsonst da, dass die reale Situation zu Anschauungszwecken von mir gewählt worden ist, um möglichst viele Leute anzusprechen. Nur deshalb habe ich es nicht gleich rein mathematisch formuliert. Es bringt doch nichts in unserem mathematisch Jargon zu reden, und damit alle anderen Interessierten auszuschließen.

Jetzt ist alles mathematisch sauber (wenn nicht irgendwo nen Dreher bei den Ungleichheitszeichen drin ist, hoffe nicht ^^).

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Original von Chevron

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Original von HarLe
unendlich -1
(...)
unendlich +2

Das kann man so leider nicht machen, weil "unendlich" nicht Teil einer Menge ist, auf der eine Addition bzw. Subtraktion definiert ist.

Doch, man definiert einfach a+unendlich = unendlich+a = unendlich für a ungleich -unendlich und analog für -unendlich.
Das sind die ganz normal "erweiterten reellen Zahlen", allerdings ist das ganze keine Gruppe mehr, die erweiterten reellen Zahlen speziell auch nicht mehr ein Körper.

Wann hat denn überhaupt eine (nichtleere) Menge Elemente, auf denen ich keine binäre Verknüpfung definieren kann, welche ich "Addition" nenne?
Was für Eigenschaften soll denn deine "Addition" haben?

Betrachte beispielsweise die Natürlichen Zahlen ohne Null. Die sind noch nicht mal eine Gruppe oder ein Monoid, sondern gerade mal eine Halbgruppe, welche kommutativ ist. Trotzdem finden wir die Addition drauf ganz natürlich.

Man kann die Lösung auch sehr kurz heuristisch erklären:

Ich weiß, dass eine der beiden Zahlen strickt kleiner als die andere ist, d.h. dass gilt x<y. Wenn ich mir eine stetige Verteilung nehme, welche auf ganz IR definiert ist und nirgendwo verschwindet, so habe ich eine strickt positive Wahrscheinlichkeit mit einer aus dieser Verteilung gezogenen Zufallsvariable Z genau zwischen beiden Zahlen x und y zu landen.

Immer wenn ich zwischen beiden Zufallsvariablen bin kann ich einen "Test" konstruieren, der mir dann sicher die richtige Voraussage erlaubt (konditional zu dem Wissen, dass gilt x<=Z<y). Wenn die Beobachtung B=b ist, dazu entscheide ich einfach auf x, wenn b<=Z gilt, andernfalls bei Z<b auf y.

Tritt dann irgendwann einmal dieser Fall ein, dass die Zufallsvariable zwischen beiden Werten liegt, dann entscheide ich nach dieser Regel sicher richtig, ansonsten rate ich immer mit Wahrscheinlichkeit 1/2. Insgesamt habe ich durch die positive Wahrscheinlichkeit, dass irgendwann einmal wirklich x<=Z<y gilt und ich dann nicht nur rate, sondern sicher richtig entscheide. Ich weiß aktuelle natürlich nie vorher, ob ich gerade rate oder sicher richtig entscheide, aber ich rate insgesamt mit Wahrscheinlichkeit > 1/2 richtig.

Hoffe so ist die Erklärung jetzt intuitver und damit leichter verständlich.

€dit:

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Original von kOa_Master
mal abgesehen davon, dass das a) keine mathematik auf abi-stufe ist (ganz sicher nicht in der beweisführung) und b) sehr mühsam (naja mathematisch halt) geschrieben ist....

erklär doch einfach ganz kurz in einigen worten, wie man in dieser situation vorgehen müsste als spieler, um mehr als 0.5 wahrscheinlichkeit zu haben.

Hatte es parallel dazu gemacht. So verstänlicher?

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Original von Dr. Poxxx
gelten ganzen Zahlen im Bereich von -+ unendlich als kontinuirlich oder als diskreter Wertebereich? Oder anders gefragt, gibt es eine endliche wahrscheinlichkeit für das auftreten einer beliebigen Zahl in diesem Wertebereich?

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Original von pitt82
Ganze Zahlen sind doch eindeutig diskret.

Ganz Zahlen sind natürlich diskret. Aber wir betrachten ja eine stetig verteilte Zufallsvariable Z, hier eine normaverteilte. Diese soll mit positiver Wahrscheinlichkeit im Intervall zwischen den beiden Zahlen x,y landen.
Die Wahrscheinlichkeit, aus endlich vielen diskreten Zahlen eine zu ziehen ist positiv, wenn jede der Zahlen Wahrscheinlichkeitsmasse hat (also nicht ausgeschlossen ist).
Die Wahrscheinlichkeit genau eine reelle Zahl zu ziehen ist 0, da kannst du nur sinnvoll Intervallen (und auch nur welchen, die "schön genug" sind) eine Wahrscheinlichkeitsmasse zuordnen. |y-x| > 0, d.h. dem Intervall [x,y) kann man eine positive Wahrscheinlichkeit zuordnen, dass eine stetig verteilte Zufallsvariable da reinfällt.

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Original von Erg_Raider
interessantes Problem, allerdings sind mir 2 punkte in diesem Beweis noch etwas unklar.

1.

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Original von AtroX_Worf

P[E=M] = 0.5 * (1 + P[{x<=Z<y}]) = 0.5 + 0.5*P[{x<=Z<y}] > 0.5

Die letzte Ungleichung gilt offensichtlich, da wegen x<y eine normalverteilte Zufallsvariable immer eine echt postive Wahrscheinlichkeit P[{x<=Z<y}] > 0 hat, zwischen den beiden Zahlen zu landen.

diese Aussage will ich nicht einfach so hinnehmen. Ist die Wahrscheinlichkeit mit deinem Z ein endliches Intervall auf einer unendlich Zahlengerade per Zufall zu treffen nicht unendlich klein. Also gleich 0?

Ein endliches Intervall zu treffen wäre unendlich klein, wenn du eine Gleichverteilung auf ganz IR, so es sie denn geben würde, betrachten würdest. Bei der Normalverteilungs beispielsweise hast du schnell abfallende "Enden" (Tail), aber du kannst natürlich einfach das Intervall anschauen, und es hat auch eine positive Wahrscheinlichkeit getroffen zu werden. Die betrachteten Intervallgrenzen sind ja immer 2 endliche Zahlen x,y, d.h. ich kann die Dichtefunktion von x bis y integrieren. Eine Nullmenge ist das auch nicht, sollte eigentlich offensichtlich sein bei der Normaverteilung und Intervallen, deswegen hatte ich sie ja auch gewählt.
Bei der Verteilungsfunktion kannst du ja auch jeder endlichen Zahl eien Wahrscheinlichkeit zuordnen, lim_x->inf F(x) = 1 gilt ja eben erst im Grenzwert bei Verteilungen über ganz IR. Du wirst also kein endliches x finden, für das F(x) = 1 gilt.
Irgendwie sehe ich aber das Problem auch nicht, dass kann doch nicht ernsthaft deine Frage gewesen sein, oder? Was meinstest du denn genau?

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Original von Erg_Raider
2. irgendwie hab ich deine Auswahlregel nicht ganz verstanden.

x < Z < y => du rätst sicher richtig.
aber wieso rätst du ansonsten mit wahrscheinlichkeit 1/2?
Z < x=b < y und x < y=b < Z => du rätst sicher falsch?

alles leicht verwirrend, aber Wahrscheinlichkeitstheorie war auch nie meine Stärke

Du hast ja noch die Möglichkeiten Z < x < y=b und x=b < y < Z, wo du richtig raten würdest.
Das mit dem 1/2 aus der heuristischen Erklärung würde ich jetzt nciht auf die Goldwage legen, müsste ich mir nochmal überlegen, habe gerade nen paar Kölsch intuns. Aber eigentlich macht man da ja keinen systematischen Fehler, sonst würde ich durch Ausnutzung dieses systrematischen Fehlers ohnehin schon mit Wahrscheinlichkeit > 1/2 richtig voraussagen können.
Rein mathematisch musst du wohl über den Beweis gehen, dann einmal einen der Terme so umwandeln, dass du 0.5*(P[Omega] + P[x<=Z<y]) rausbekommst. Da hatte ich ja auf jeden Fall gezeigt, dass es stimmt.

Ich denke aber die Heuristik stimmt so auch, wenngleich ich jetzt nciht auf anhieb direkt beweisen könnte, dass es jeweils Wahrscheinlichkeit 1/2 ist. Das folgt aber sicher, wenn man sich das Problem kurz nüchtern betrachtet.

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Original von Chevron
Ich hab das jetzt mal nur überflogen, aber es müsste sich mit der Zwei-Zettel-Strategie decken.

thx, ich wusste nicht, wie das Problem im Original heißt oder von wem es stammte.

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Original von Chevron
Übrigens, Worf, deine Befürchtungen, dass dir im Masters irgendwelche Scharen von Mathematikern auflauern, um deine Threads kaputtzureden, ist unbegründet

Ich finde es im Gegenteil gut, wenn Mathematiker etwas schreiben. Deswegen hatte ich auch noch "(Mathe)" im betreff nachträglich ergänzt.
Allerdings, wenn ich Vorgaben mache und der einzige Beitrag von den Mathematikern darin besteht darauf hinzuweisen, dass man real das Problem so nciht stellen könnte und sie qualitativ nicht versuchen eine Lösung zu finden, dann bin ich leicht angefressen. Mit etwas guten Willen hätte man es als Mathematiker leicht für sich wieder so formulieren können, dass es "sauber" ist.

Ich poste so etwas ja nicht, um dann zu sagen: Das Problem ist leider schlecht definiert, deswegen kann man es so nicht stellen, alles war vergeblich... im Gegenteil. Wenn so etwas gepostet wird, dann, weil ich es doch sehr interessant und zumindest kontraintuitiv finde. Dann möchte ich auch in der Sache drüber reden.

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Original von Chevron
Die Bemerkung, dass man keine Gleichverteilung auf IR benutzen kann, sollte auch keine Angriff auf dich sein. Es ist nur vielleicht nicht jedem bewusst, und da kann es doch nicht schaden, es richtigzustellen

Naaagut, aber jeder Mathematiker weiß es, und für alle anderen bleibt das Bild richtig und wichtig für das Verständnis der Aufgabenstellung.

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Original von Chevron

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Original von AtroX_Worf
Wann hat denn überhaupt eine (nichtleere) Menge Elemente, auf denen ich keine binäre Verknüpfung definieren kann, welche ich "Addition" nenne?
Was für Eigenschaften soll denn deine "Addition" haben?

Ich hatte mich auf ein Posting von HarLe bezogen. Die "Addition" müsste also zumindest die dort benutzte Eigenschaft haben, nämlich dass man von
a < b
auf
a+c < b+c
schließen kann.
Prinzipiell kann man natürlich jede beliebige Verknüpfung "Addition" nennen, und das funktioniert dann auf beliebigen Mengen. Da hast du völlig recht.

Mein Punkt war nur, dass eine Verknüpfung keine Eigenschaft von Elementen aus einer Menge ist. Zumal die Aussage ja auch insgesamt falsch war, weil man bei der erweiterten Zahlengerade genau das Rechnen mit +/- unendlich definiert.
Landläufig benutzt man Addition ja als Namen für binäre Gruppenverknpüfungen, wenn sie abelsch sind. Aber auch schon weniger als eine Gruppe entspricht unserem "normalen" Verständnis von Addition. Ich finde mein Minimalbeispiel ziemlich gut, Kommutativität sollte man schon haben finde ich persönlich.

Dein Kriterium betrifft eher eine (wie auch immer) Ordnung als die Addition, würde ich jetzt mal auf den ersten Blick sagen.

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Original von Chevron
Natürlich ist die Zwei-Zettel-Strategie auch keine Hexerei, und die Gewinnwahrscheinlichkeit hängt ja von x und y ab. Da x und y beliebig nahe zusammen liegen können, kann das Intervall dazwischen beliebig klein werden und die Gewinnwahrscheinlichkeit damit beliebig nahe an 1/2 herankommen. Es ist also nicht möglich, mit Sicherheit eine bestimmte vorgegebene Gewinnwahrscheinlichkeit zu erreichen, die größer als 1/2 ist.
(Es ist btw selbst dann nicht möglich, wenn zwischen x und y ein Mindestabstand vorgegeben ist)

Ich glaube diese Argumentation ist nicht richtig. Du hast ja immer

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Original von AtroX_WorfP[E=M] = 0.5 * (1 + P[{x<=Z<y}]) = 0.5 + 0.5*P[{x<=Z<y}] > 0.5

d.h. zu 0.5 kommt für jedes Intervall [x,y) eine echt positive Wahrscheinlichkeit dazu. Natürlich kann diese Wahrscheinlichkeit beliebig klein sein, aber du wählst ja nicht die Intervallgröße so, dass die Wahrscheinlichkeit unter ein beliebiges epsilon>0 fallen soll, sondern für jedes gewählte Intervall ist die Wahrscheinlichkeit echt >0. Damit folgt insgesamt, dass die Wahrscheinlichkeit echt > 1/2 ist.

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Original von Chevron
Edith meint noch, dass das hier auch ein interessanter Link zum Thema sein könnte:
-> Blubb <-

Der Link ist wirklich interessant, vielen Dank.

Fand dieses Post auch wirklich gut.