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ganz einfach
man weiss, dass 1/n für n geht gegen unendlich 0 wird....einfach vorzustellen indem du dir für n eine gaaaaaaaaaaaaaaanz grosse zahl vorstellst und dann steht da 1/gaaaaanz grosse zahl

d.h. also wir ham in der klammer nur noch den 1er stehn und den ^n
nen 1er kann man ^wasweissdergeier nehmen und es wird immer 1 rauskommen, also is die ganze geschichte konvergent und konvergiert gegen 1

hoffe ich hab mich jetzt net vertan, aber müsste schon passen...ich schau mal in meinen verstaubten unterlagen nach

Wenn man beweisen soll dass es gegen e konvergiert ist es der Sache eher abträglich wenn man beweist dass es gegen 1 konvergiert.

Zitat

1/x konvergiert nicht, das weiß sogar mein Auto

Hat mir mein Übungsleiter im 3. Semester auf die Klausur geschrieben. Sowas prägt....

wenn ein n drin ist, kann es eigentlich nur vollstaendige induktion sein. ^^

hm ok schande über mich
ich war da wohl in gedanken beim ableiten einer funktion durch einen grenzprozess oder sowas ähnliches
alles der gleiche schrott und braucht man niiiiiiiiieeeeeeeeeeee wieder

@feanor:
was soll das überhaupt sein?
ne reihe oder ne folge? ich nehm jetzt mal an ne reihe wenn das gegen e konvergieren soll, andernfalls wär nämlich meine lösung oben richtig...

also ohne ruecksicht auf dein weltbild:

- es geht hier nicht um pi

- n1=1; f(n1)=2

- n2=10; f(n2)=2,59374246

- n3=20; f(n3)=2,653297705


da geht gar nix gegen 1

hmm
stimmt schon...die dumme folge (1+1/n)^n konvergiert gegen e(eulersche zahl = 2,7blaa)

komme jetzt aber auch net auf die schnelle drauf warum das so is

Die Verwirrung kommt wohl daher, dass man unter konvergieren zwei Dinge verstehen kann: Den Funktionswert im Unendlichen, oder die Summe (oder das Integral im stetigen Fall) bis Unendlich.
Meist ist das zweite gemeint, was hier aus dem Zusammenhang hervorgeht, auch wenn es nciht explizit erwähnt wurde.

klartext - du zeigst:

- (1+1/n)^n < (1+1/(n+1))^(n+1) < e fuer alle n aus N

- das ganze fuer n=1

und fertig ist die laube - so meint der nicht-mathematiker

Er will ja die Folge, nicht die Reihe.

1. Eine Teilfolge und deren "halben Nachfolger" bilden, also eine Folge auch mit n unter dem Bruchstrich, aber mit n+1 im Exponenten.

a_n := (1 + 1/n)^n
b_n := (1 + 1/n)^(n+1)

b_n = a_n * (1 + 1/n)

=> b_n > a_n

Ob negative n da ein Problem machen würden trotz n gegen positiv Unendlich weiss ich jetzt nicht.

2. Das monotone Wachstum von a_(n+1) nachweisen.

Dass immer a_(n+1) > a_n gilt ist genau dasselbe, als ob a_(n+1) / a_n > 1 ist.

a_(n+1) / a_n = *überspring* = (1 - 1/ (n²+2n+1) )^(n+1) * (1 + 1/n)

Und das ist grösser als 1 + (n+1)(-1 / (n+1)²)(1 + 1/n), was man wiederum zu 1 umformen kann.

=> a_(n+1) > a_n

3. Nachweisen, dass b_(n+1) immer kleiner ist als b_n - was b_n ist: siehe oben. Das ganze geht recht analog zu 2.

b_n / b_(n+1) = *überspring* = (1 + 1/(n²+2n))^(n+2) * (n/(n+1))

Das ist kleiner als (1 + (n+2) * (1 / (n²+2n) ) ) * (n / (n+1) ), was auch wieder 1 ist.

4. b_n ist beschränkt nach unten

5. a_n ist beschränkt nach oben

6. lim n -> unendlich von a_n kleiner gleich dem von b_n

7. b_n - a_n ist Nullfolge


Zusammen ergeben 1 bis 7, dass die Folge konvergent ist, gegen e.

Mit a_2 = 9/4 und b_2 = 27/8 lässt sich der Bereich schon ordentlich von unten und oben eingrenzen, mit a_3, a_4, ... und b_3, b_4, ... gehts dann immer genauer.

In einem Mathebuch findet man es ausführlicher, ich kann es nur auch soweit erklären wie ich es jetzt eben auf die Schnelle selbst begriffen habe - immerhin besser als damals im 2. Semester.

@Tigre: Das ist ein netter und angenehm schneller Ansatz - nur beweist das nicht, dass die Reihe nicht gegen e - epsilon mit einem sehr kleinen epsilon (z.B. 0,00000001) konvergiert, sondern wirklich gegen e.

EDIT: Das Epsilon taugt doch nicht als Gegenargument, aber man kann trotzdem nicht das Ergebnis vorwegnehmen, sonst hat man ein Henne-Ei-Problem. Um (1 + 1/n)^n für alle n mit e vergleichen zu können, muss man e erstmal kennen und es damit berechnen. Zum Beispiel mit dem Ansatz in diesem Beweis oder mit...

e = Summe (n=0 bis unendlich) von 1/(n!)

Mäh fünfmal editiert und wahrscheinlich noch unvollständig genug - ich geh ins Bett.

hurra, folgen(und reihen), das liebe ich, da hab ich in der letzten prüfung ne 6+ ohne fehler geschrieben

das einzige was mich jetzt ein gaaanz klein wenig verwirrt hat, ist meine kurzzeitige verwechselung zwischen e(euler'sche zahl) und €/E(Epsilon, für eine kleine zahl stehend)

Zitat

Original von -=)GWC(RaMsEs
lol, wenn man nicht wüsste das der master ein schweizer ist...

zum glück erwarte ich von den meisten, die diesen thread lesen, dass sie neben tollen mathe-gosu-aufgaben auch 1 und 1 zusammenzählen können

Zitat

Original von kOa_Master
zum glück erwarte ich von den meisten, die diesen thread lesen, dass sie neben tollen mathe-gosu-aufgaben auch 1 und 1 zusammenzählen können

1 + 1 = 0, klarer Fall

Tigres Ansatz spukte mir noch eine Weile im Kopf herum, so richtig überzeugend finde ich meine Gegenargumente von gestern nicht.

Wenn man sich mit der Folge (1 + 1/n)^n dem Grenzwert e nähert, erreicht man ihn nur, wenn n auch unendlich sein darf. Das hackt sich aber mit der Bedingung, dass n eine natürliche Zahl sein soll (rekursive Definition von N über Nachfolger). Also erreiche ich mit n aus N den Grenzwert nie.

Wer hindert mich jetzt aber, als Grenzwert 3, 10, 1000*Pi oder allgemein e + epsilon anzusetzen? Mit Testeinsetzungen kommt man immer darauf, dass

(1 + 1/n)^n < e + epsilon

wahr ist. Aber der Grenzwert ist nicht automatisch e + epsilon, sondern nur wenn epsilon = 0 ist (also rechts e steht). Ein Wert, der immer grösser ist als eine Folge, die sich auf endliche Variablen beschränkt, ist nicht zwangsläufig der Grenzwert.

Der Beweis, den ich in Auszügen abgetippt habe, hat dieses Problem nicht - hier wird e aus zwei Richtungen eingeschränkt, ich könnte zwar

(1 + 1/n)^n < e - epsilon1

oder (1 + 1/n)^n > e + epsilon2

ansetzen und mir kleine epsilons wählen. Aber ab einem bestimmten n würde die Folge zwischen Grenzwert e und e +- epsilon hängen, ich muss dann epsilon immer weiter verkleinern, bis es im Unendlichen 0 wird.

Ich würde es versuchen anders zu lösen.

Nimm einfach mal eine reelle Zahl h.

Wenn h gegen 0 konvergiert hast du:

e^h - 1 = h
e^h = h + 1

nimm auf beiden Seiten jetzt die Potenz 1/h und du findest folgendes:

lim ( 1 + h )^(1/h) = e
h->0

Und jetzt sagst du dass n = 1/h das heisst dass wenn h gegen 0+ konvergiert dass n dann gegen unendlich konvergiert. Setz das ein und du findest:

lim (1 + 1/n )^n = e
n->unendlich

der ansatz von sheep ist der richtige...

auf diesem wege ist die eulersche zahl auch überhaupt DEFINIERT
der weg, den sheep gegangen ist heisst Intervallschachtelung und das ist nicht nur eine methode für die eulersche zahl, sondern eine allgemeine methode um zb irrationale zahlen auszurechnen

da e und pi irrationale zahlen sind, kann man sie auch nur bis zu einem gewissen grade ausrechnen, weil sie ja unendlich viele nachkommerzahlen haben

@mechel: das kannst du nur machen, wenn du schon vorher weisst, was rauskommen soll, idr weiss man das aber nicht

Stimmt @TinTin, aber imo wusste er ja was rauskommen soll, er soll ja jediglich beweisen dass der ganze Spass gegen e konvergiert.

Ist aber sicherlich kein vollständiger Beweis, eher eine Erklärung warum es so ist

Eigentlich braucht man nicht mal so viel zeigen wie Sheep. Konvergenz für Folgen zeigt man einfach, indem man die Monotonie und die Beschränktheit nachweist.

Satz: Eine monoton wachsende Folge, die nach oben beschränkt ist, ist konvergent.

Zitat

Original von Springa
Eigentlich braucht man nicht mal so viel zeigen wie Sheep. Konvergenz für Folgen zeigt man einfach, indem man die Monotonie und die Beschränktheit nachweist.

Ja. Wäre aber nicht so unterhaltsam gewesen, gut dass es mir nicht eingefallen ist.