Aloha, draußen ein Mordswetter und ich muss noch Hausaufgaben machen
Eigentlich alles ganz easy, aber "allgemeine Lösung herleiten", da könnt ich mal wieder abkotzen..
Hier mal die Aufgabenstellung:
In einem Aufzuchtbecken werden junge Hoki-Fische ausgesetzt. Aufgrund der gegebenen Bedingungen ist klar, dass maximal S = 10.000 Hokis in diesem Becken gehalten werden können (das ist die Sättigungsgröße). Der aus der natürlichen Vermehrung der Hoki-Fische resultierende Zuwachs (y (t+1) - y(t) ) der Population y(t) sei zu jedem Zeitpunkt t konstant proportional zur Differenz (S - y(t) ) mit Proportionalitätskonstante k < 1 .
a) Stellen Sie die zugehörige lineare Differenzengleichung für die Hokipopulation auf und leiten Sie ihre allgemeine Lösung her. Arbeiten Sie dabei für die partikuläre Lösung mit dem Ansatz: y(t) = a .
Die t-s sind als Index zu lesen.
Prima, da soll ich jetzt den Lambda Ansatz nutzen y(t)=lambda^t...
Also erstmal Gleichung aufgestellt:
y(t+1)-y(t)=k(S-y(t)) <=> y(t+1)=kS+(1-k)*y(t)
Also eine Gleichung der Form: y(t+1)=a*y(t)+b
Aus der Formelsammlung kann ich jetzt die Lösung entnehmen:
y(t)=(y(0) - (b/(1-a))*a^t + b/(1-a)
Dies ist aber nun wohl nicht die allgemeine Lösung.. Wenn ich in meine Gleichung besagten Ansatz einsetze, sehe ich nicht, was ich dann damit damit machen soll. In den Beispielen, z.B. Fibonacci-Folge, wird dann praktischerweise durch y(t-1) geteilt, so dass man eine schicke quadratische Gleichung als charakteristische hat. In dieser konkreten Aufgabe sehe ich diese Möglichkeit aber irgendwie nicht und häng mich daran auf... Vermutlich ist das alles mal wieder super einfach und ich seh's nicht, hoffe mir kann jemand helfen.
Greetz Xen
Wo Du es jetzt gerade nochmal aufschreibst, sehe ich auch sofort meine Denkblockade: Ich Idiot hab einfach vergessen, dass wenn ich die homogene Gleichung lösen will, ich das "k*S" ja einfach weglasse (das kenn ich doch von Mechanik ^^) und dann die Gleichung mit =0 löse. Ich hatte mich nämlich gefragt, was ich machen soll, wenn ich durch lambda^t teile und dann den Term kS/lambda^t erhalte.. Super, vielen Dank, jetzt isset klar. 
