MastersForum

Hey, schreib bald ne Matheprüfung und hab ein Problem mit der Differentialgleichung 2ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

Bisher kenn ich es so(Beispiel):

2y"-16y'+30y=0

<=> 2K²-16K+30=0

Entweder gibt es zwei gleiche reelle Lösungen, zwei unterschiedliche reelle Lösungen oder ein konjugiertes komplexes Paar.

Also entweder:

y=c1*e^K1x+c2*e^K2x bei unterschiedlichen reellen Lösungen.

y=(c1x+c2)*e^Kx bei gleichen reellen Lösungen.

y=e*alphax*(c1*sin(betax)+c2*cos(betax)) beim komplexen Paar.

Soweit so gut, in dem Fall kommt K1=3 und K2=5 raus und somit greift Lösung 1.


Allerdings ist mir jetzt so eine Aufgabe begegnet:

y"+2y'+y=x

Mich stört dieses x, was mach ich damit?

Dazu gibt es noch die Nebenaufgabe:

"Wie lautet die Lösung y(x) der obigen Differentialgleichung mit y(0)=0 und y'(0)=1?"


Wär echt nett, wenn mir da jemand helfen kann. Hatte dieses Thema damals nicht in der Schule und ist mir dementsprechend unbekannt.

Danke schonmal, hab mal gegoogelt und was Hilfreiches gefunden, allerdings krieg ich ein seltsames Ergebnis.

-------------------------------------------------------------------

y"+2y'+y=x

<=> y"+2y'+y=0 <=> K²+2k+0=0

K1,2= - 2/2 +- Wurzel(1) <=> K1= 0 und K2= -2

y=C1+C2*e^-2x


=> Yp=a1x+ao, Y'p=a1, Y"p=0

2a1+a1x+ao=x <=> a1x+(2a1+ao)=x

=> a1=1 und 2a1+ao=0 <=> ao=-2

Yp=x-2

Somit ergibt sich: Y=Yo+Yp=C1+C2*e^-2x +x-2

Hast recht, was für ein Fehler, manchmal sieht man den Wald nicht vor lauter Bäumen

Habs oben editiert.

Super, danke!

Und wo setzt ich jetzt y(0)=0 und y'(0)=1 ein?

Stimmt, habs nochmal nachgerechnet. >_>

Omg, was ist denn los heut, man sollte sowas nicht nebenbei rechnen, während man Streams anguckt.


Aber jetzt ist mir alles klar, vielen Dank dafür, hat mir echt geholfen =)

Hol den Thread nochmal hoch, hab noch 2-3 Unklarheiten.

Einmal zur Integralrechnung:

a)

[img]http://www3.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP276819e7bhb3h9d3796b00004g20dig0d0e87ifi?MSPStoreType=image/gif&s=24&w=151&h=48[/img]

Ich komm da nicht auf die 0.5

Ich hab erst mit der Substitution gearbeitet:

z=x², z'=2x, dx=dz/2x

x*cos(z) dz/2x => 1/2 *sin(x²) als Stammfunktion. Aber wenn ich diese Wurzel(Pi/2) einsetze, komm ich nicht auf 0.5 :S

b)

[img]http://www3.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP1291719e7a93731dg22e90000403e41523hdhda4f?MSPStoreType=image/gif&s=6&w=117&h=35[/img]

Hier komm ich auch nicht auf die -1, muss mich da irgendwie verrechnet haben.

int[-1,0]x*e^-x dx= x*-e^-x - int[-1,0] -e^-x

=>[x*-e^-x - e^-x] für 0 bis -1 => 0*1-1+1*-e^1-e^1

Das e^1 fällt nicht weg ?_? Wo ist der Denkfehler?

-----------------------------------------------
Dann die Funktion f(x)= -x³+4x, Graphen skizzieren (Done) und den Flächenwertzwischen -2 und 2 berechnen.

Da hab mir dann gedacht, mach ich einmal von -2 bis 0 und von 0 bis 2 mit dieser Stammfunktion: -1/4 * x^4 + 2x²

Krieg dann jeweils 12 und 4 raus, laut Wolframalpha kommt 0 raus, was eig nicht sein kann, aber ansich sollten die Flächen ja gleich groß sein?

------------------------------------------------

Und nochmal zur Differentialgleichung 2ter Ordnung:

y"+5y'+6y= x, y(0)=0, y'(0)=0

K1= -2, K2=-3

Yo= C1*e^-2x + C2*e^-3x

Für Yp hab ich Yp= 1/6x-5/36 raus.

Wäre also Y=Yo+Yp= C1*e^-2x+C2*e^-3x+1/6x-5/36

Ab hier komm ich nicht mehr weiter. Bei y' hab ich mich irgendwie total verwurschtel und wenn ich y(0)=0 einsetze, komm ich auf C1+C2-5/36=0

Sieht falsch aus, insgesamt rauskommen soll: [img]http://www3.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP41019e7c431fcc0a88d00001c1591eab8bb3a0d?MSPStoreType=image/gif&s=14&w=258&h=36[/img]

Wär nett, wenn mir noch jmd. helfen könnte.

Das würde eingies erklären. Die Klausur ist ja ohne Taschenrechner, hab mir eigentlich gedacht, dass sin(Pi/2)=1 ist, aber wollte es mitm Rechner überprüfen und da kommt 0.027 raus?!

Ui, stimmt, da war ja was . Jo dann passt das, dann ist die Aufgabe klar. Danke schonmal!

Zitat

Original von [AA]Hawk
hat er nicht

zu b)

=>[x*-e^-x - e^-x] für 0 bis -1 => 0*1-1+1*-e^1-e^1

da hast du dich einmal mit dem Vorzeichen vertan:

0*1-1 - ((-1)*(-e^1) - e^1) = -1

Klammersetzung ftw. Oh man, jetzt komm mir echt doof vor, sind immer die Kleinigkeiten -.- Wenn sowas in der Prüfung passiert, ist das mehr als ärgerlich.

Zitat

Original von [*HS*] Lui
mal ne frage, studierst du mathe oder wofür benötigst du das?

Nein, Bauingenieurwesen. Das ist einfach nur eine Matheprüfung um nochmal die Grundlagen zu vermitteln. Hab die bisher aufgeschoben, weil ich mir gedacht habe "Das hab ich alles schonmal im Mathe LK gehabt" und wollte es dementsprechend zwischendurch mal Schreiben, wir haben immer 2 Prüfungstermine pro Semester. Aber nach 3 Jahren Pause hat man doch wieder ein paar Lücken.

So, hab heut morgen nochmal nachgerechnet:

y"+5y'+6y= x, y(0)=0, y'(0)=0

K1= -3, K2=-2

Yo= C1*e^-3x + C2*e^-2x

Für Yp hab ich Yp= 1/6x-5/36 raus, das stimmt auch laut Wolfram Alpha.

Wäre also Y=Yo+Yp= C1*e^-3x+C2*e^-2x+1/6x-5/36.

Y'=-3*C1*e^-3x - 2*C2*e^-2x + 1/6 => Stimmt die Ableitung?

Y(0)=0=C1 + C2-5/36 => C2=5/36-C1

Y'(0)=0=-3*C1 - 2*C2 + 1/6 => -3*C1 - 2*(5/36-C1)= -1/6 => -3*C1 - 10/36 + 2*C1= -1/6

Somit ist: C1= -4/36 und C1=1/36.

Wenn ich das oben einsetze, bekomm ich dann: -4/36*e ^-3x + 1/36 *e^-2x+1/6x-5/36 raus.

Laut Wolframalpha kommt: 1/36*e^-3x*[e^3x*(6x-5)+9*e^x-4 raus.

Das ist wohl umgeformt. Aber ich kann irgendwie die e^3x und die 9*e^x nicht nachvollziehen. Entweder hab ich noch was falsch oder ich bin nur zu blöd zum Umformen