relativ einfache lineare algebra

ZXK_Truespin

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1

24.10.2008, 16:32

hmmmm ich soll hier so eine kleinigkeit beweisen, hab aber irgendwie nicht die zündende idee! der professor meint, wir sollen das nicht über das charakteristische polynom argumentieren ..... aber wie denn sonst ?

kann das hier jemand lösen ?

müsste doch ein leichtes sein eigentlich...

Gilt RangA = k, so hat A höchstens k + 1 verschiedene Eigenwerte.

vielen dank

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Erg_Raider

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2

24.10.2008, 16:53

ich würde sogar sagen, dass es maximal k eigenwerte sind. zu jedem eigenwert gibt es einen eigenvektor. und es kann nicht mehr linear unabhängige eigenvektoren geben als dimensionen (k).

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kOa_Master

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3

24.10.2008, 18:00

RE: relativ einfache lineare algebra

Zitat

Original von ZXK_Truespin
Gilt RangA = k, so hat A höchstens k + 1 verschiedene Eigenwerte.

vielen dank

das geht ganz sicher nicht O_o
hat erg schon begründet.

1 <= k <= n.
n dimension der matrix, k = anzahl eigenwerte...

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para

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4

24.10.2008, 18:15

Natürlich gehts, braucht man nur die Abbildung x->0, x in R anschauen.
Die Aussage mit k+1 stimmt, weil die Eigenräume zu Eigenwerten ungleich 0 auf sich selbst abgebildet werden.

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kOa_Master

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5

24.10.2008, 18:35

Zitat

Original von para
Natürlich gehts, braucht man nur die Abbildung x->0, x in R anschauen.
Die Aussage mit k+1 stimmt, weil die Eigenräume zu Eigenwerten ungleich 0 auf sich selbst abgebildet werden.

weiter erläutern bitte

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Erg_Raider

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6

24.10.2008, 18:54

Zitat

Original von para
Natürlich gehts, braucht man nur die Abbildung x->0, x in R anschauen.
Die Aussage mit k+1 stimmt, weil die Eigenräume zu Eigenwerten ungleich 0 auf sich selbst abgebildet werden.

ok hier haben wir vielleicht unterschiedliche definitionen. bei uns ist 0 als eigenwert immer ausgeschlossen.

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kOa_Master

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7

24.10.2008, 19:02

Zitat

Original von Erg_Raider

Zitat

Original von para
Natürlich gehts, braucht man nur die Abbildung x->0, x in R anschauen.
Die Aussage mit k+1 stimmt, weil die Eigenräume zu Eigenwerten ungleich 0 auf sich selbst abgebildet werden.

ok hier haben wir vielleicht unterschiedliche definitionen. bei uns ist 0 als eigenwert immer ausgeschlossen.

ich dachte das sei grundsätzlich so. aber gut, ich studier nicht mathe, von dem her keine ahnung...

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para

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8

24.10.2008, 19:07

Verwechselt ihr grad Eigenwert und Eigenvektor? Wäre absoluter nonsens 0 von den Eigenwerten auszuschließen.

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kOa_Master

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9

24.10.2008, 19:11

nicht 0 als eigenwert ausschliessen, aber x=0.
oder willst du den nullvektor nehmen?

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Erg_Raider

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10

24.10.2008, 19:20

Zitat

Original von para
Verwechselt ihr grad Eigenwert und Eigenvektor? Wäre absoluter nonsens 0 von den Eigenwerten auszuschließen.

nein genau das meine ich.

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GEC|Napo

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11

24.10.2008, 19:20

leute denkt mal nach rang ist nicht gleich größe der matrix....für rang k gibts bis zu k verschiedene eigenwerte und dann +1 für einen möglichen 0 eigenwert, der vom rang natürlich nicht erfasst wird.

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Erg_Raider

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12

24.10.2008, 19:34

@napo:
genau das ist aber irrelevant, wenn man 0 nicht als eigenwert zulässt.
wie schon gesagt, wir haben andere definitionen. bei uns wurde 0 von vorneherein als eigenwert ausgeschlossen. über den sinn dieser definition kann man streiten, ich sehe auch ein, dass man 0 zulässt, aber einen eigenvektor 0 dafür ausschließt. wir habens halt so gelernt, dann gibts keine schwierigkeiten

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ZXK_Truespin

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13

24.10.2008, 22:57

jau genau so wollt ichs auch machen, aber wie sieht denn da ein beweis aus ? dann argumentiert man ja eigentlich doch wieder über char polynom

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GEC|Napo

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14

25.10.2008, 00:28

Machs so, zeig das Eigenverktoren zu verschiedenen Eigenwerten linear unabhängig sind, daraus kann man die Behauptung leicht folgern.

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AtroX_Worf

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15

25.10.2008, 10:38

Zitat

Original von para
Verwechselt ihr grad Eigenwert und Eigenvektor? Wäre absoluter nonsens 0 von den Eigenwerten auszuschließen.

!!!
Ansonsten gehe ich mit Napo's beiden Bemerkungen mit.

Stellt euch eine lineare Abbildung A vor. rang(A) zählt als dim(bild(A)) die Anzahl der Eigenwerte != 0. Die können alle höchstens verschieden sein, dazu ein Eigenwert = 0 => A ist singulär mit höchstens k+1 verschiedenen EWs. (eine zugehörige Matrix wäre also (k+1) x (k+1) groß und nicht k x k, denke hier liegt der Denkfehler bei den meisten -> auf Napo hören).