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Mathefragen

]I[Michi

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1

17.06.2010, 20:59

Mathefragen

Wiedermal Mathe, um wie so oft Schreibfehler zu vermeiden habe ich das Übungsblatt hochgeladen:

http://www.bilder-space.de/show_img.php?…g&size=original

Fragen Nummer
3
4
und
7

sind mir nicht ganz klar, könnte mir jemand weiterhelfen?

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »]I[Michi« (17.06.2010, 21:00)

AtroX_Worf

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2

17.06.2010, 21:23

Zeichne 3 doch mal auf ein Blatt Papier und überleg dir, was eine Ableitung graphisch wäre.

zu 4) Polynomdivision, du bekommst dabei ein Polynom und einen Rest als echte rationale Funktion raus.

7) Was passiert mit a^n, wenn |a| < 1 ist? Wie kann man (5x-3)^n (binomische Formlen) anders schreiben?

GEC|Napo

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3

17.06.2010, 21:24

3. Satz von Rolle
4. ausrechnen
7. geometrische Reihe

]I[Michi

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4

17.06.2010, 23:24

Danke!

Also

3. Nein, weil mindestens eine Stelle 0 ist.
4. Sum of polynomial x^3 + 3x^2 + 7x + 18
proper rational function: 41x-37


Bei der 7 komm ich leider immer noch nicht weiter, wenn ich (5x-3)^n umschreibe dann habe ich: (5x+3) * 5x^(n-1) Summe: (-3/5x)^k oder?

La_Nague

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5

18.06.2010, 00:03

5x-3 muss kleiner als 1 sein für konvergenz.



edit

den Betrag davon meine ich

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »La_Nague« (18.06.2010, 00:05)

AtroX_Worf

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6

18.06.2010, 00:12

Zitat

Original von ]I[Michi
3. Nein, weil mindestens eine Stelle 0 ist.

Wenn die Funktion stetig sein soll und f(a) = f(b), dann kann sie entweder konstant sein, oder aber sie muss irgendwie einen Bogen machen und damit einlokales Minimum/Maximum haben. Das gibt dir f'(x) = 0 für ein x aus (a,b).

Zitat


4. Sum of polynomial x^3 + 3x^2 + 7x + 18
proper rational function: 41x-37

(x³ +7x+3x²+18) + (41x-37)/(x²-3x+2) hat mein CAS raus, also ja, wobei du die echt gebrochene Funktion natürlich als Zähler/Nenner schreiben musst, nicht nur en Zähler angeben.

Zitat


Bei der 7 komm ich leider immer noch nicht weiter, wenn ich (5x-3)^n umschreibe dann habe ich: (5x+3) * 5x^(n-1) Summe: (-3/5x)^k oder?

Ok vergiss das Umschreiben erstmal. Was passiert denn mit a^n für irgend ein n, wenn a bestimmte Werte annimmt? Untersuche da speziell a < -1, |a| < 1 und a > 1. Dann überlege dir, was dies für n -> unendlich bedeuten würde.
Dann hast du dir das für alle Summanden einzelnen überlegt, was bedeutet es für die Summe?

Aus letztes schaust du unter dem von Napo genannten Stichwort noch bei Wikipedia nach.

]I[Michi

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7

18.06.2010, 00:29

Danke, werde mir die Reihen nochmal anschauen, aber inzwischen hänge ich jetzt auch bei der 6ten fest. Dachte eigentlich die sei einfach aber:

(2^x)-(3x^2)=0
ich habe zuerst so umgeschrieben:
e^(xlog2) = e^(3logx)
=> xlog2 = 2log3x
=> log2/2 = log3x/x
=> ?

ist es überhaupt möglich hier eine Lösung zu finden? Hab auch mit dem Taschenrechner rumgespielt und verschiedene Lösungen ausprobiert um einen Anhaltspunkt zu erhalten, aber hab keine passende gefunden.

AtroX_Worf

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8

18.06.2010, 01:44

Was soll denn eine Lösung sein, eine numerische oder eine "geschlossene Formel"?

nC_Flex

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9

18.06.2010, 09:04

Rechnerisch ist das Problem echt schwierig zu lösen, aber der TR bringt doch gute Ergebnisse:
»nC_Flex« hat folgende Datei angehängt:
  • Ergebnisse.jpg (28,39 kB - 439 mal heruntergeladen - zuletzt: 26.11.2023, 11:59)

Chevron

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10

18.06.2010, 09:25

Bestimme doch mal f(1) und f(10) und schau dir die Vorzeichen an.

Nun ist f stetig. Was folgt daraus?

Zitat

Original von AtroX_Worf
Was soll denn eine Lösung sein, eine numerische oder eine "geschlossene Formel"?

Weder noch. Eine Lösung ist eine (reelle) Zahl, die die Gleichung erfüllt.

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »Chevron« (18.06.2010, 09:28)

]I[Michi

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11

18.06.2010, 09:52

Laut Aufgabenstellung muss ich nur herausfinden und erklären ob es eine Lösung für diese Gleichung gibt.

Mein TI hat die selben Ergebnisse, aber ich bräuchte die Ergebnisse Schritt für Schritt oder einen anderen Beweis, warum es eine Lösung gibt.

nC_Flex

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12

18.06.2010, 10:45

Naja Zahl in die Gleichung einsetzen. Prüfen, ob sie erfüllt wird. Fertig. Beweis erbracht, dass die Gleichung lösbar ist.

€: Es wird gefragt "Is there a solution..." Antwort: Ja es gibt folgende Lösungen:...

Es wird keine rechnerische Herleitung der Lösungen verlangt. Du sollst nur erklären ob es eine Lösung gibt.

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »nC_Flex« (18.06.2010, 10:47)

]I[Michi

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13

18.06.2010, 10:48

Leider, darf ich die Zahlen aber nicht als gegeben betrachten ich muss sie selbst händisch ausrechnen, sonst zählts bei der Klausur nicht...

nC_Flex

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14

18.06.2010, 11:11

Manche Gleichungen lassen sich nur bis zu einem bestimmten Punkt händisch ausrechnen und dann musst du halt probieren oder den GTR benutzen.

AtroX_Worf

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15

18.06.2010, 11:19

Wenn die Frage nur ist, ob eine Lösung existiert, so musst du nur zeigen, dass die Funktion f(x) = 2^x - 3x^2 mind. eine Nullstelle hat. Diese Funktion ist offensichtlich stetig. Wenn du jetzt zwei Stellen x_1 und x_2 finden kannst, an denen f(x_1) < 0 und f(x_2) > 0 gilt, so muss es wegen der Stetigkeit ein x_0 aus (x_1, x_2) geben, für welches f(x_0) = 0 gilt.

Das meinte wohl auch Chevron.
Die Frage, wie man auf dieses x_0 kommt ist aber eine andere.
Mit dem Newton-Verfahren geht es sehr schnell, nach 3-5 Schritten hast du eine hinreichend gute Näherung für eine Nullstelle gefunden. Mit einem GTR sollte dies weniger als 2 min dauern (mit Eingebezeit).

]I[Michi

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16

18.06.2010, 16:21

Danke, gibt es dafür keine einfache Methode? Da in der Prüfung teilweise auch Leute mit ganz normalen Taschenrechnern sitzen und ich denke, die Aufgabe ist auch für diese lösbar?

Den Rest habe ich jetzt verstanden!

Eine Frage noch zu den limits:
lim(((1-x)^a-1)/x),x->0) wobei a eine Konstante ungleich 0 ist.

Ich müsste diese Funktion irgendwie dazu bekommen 0/0 zu werden um dann mit Hilfe von L'Hospital das Limit zu berechnen, nur leider weis ich nicht wie.

Ich bin nach einigem umstellen beim Punkt:
(a*log(1-x) - log1)/x

x kann ich also noch nicht 0 setzen,

Das Ergebnis müsste laut meinem TI -a sein.

Tut mir leid, wenn ich euch hier mit meinen Fragen vollspamme, aber ich hab das ganze Semester gearbeitet und war deshalb nie in der Vorlesung :-).

nC_Flex

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17

18.06.2010, 17:10

hmm nunja:
...
=(1-x)^a/x-1/x
=a*log(1-x)-logx+logx
=a*log(1-x)
lim (x->0) [a*log(1-x))=-a (da man sich ja linksseitig der null annähert)

]I[Michi

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18

18.06.2010, 18:45

leider kann ich dir nicht ganz folgen.
lim((((1-x)^a)-1)/x))

so ist die Klammersetzung richtig.

also wie gesagt zuerst habe ich es umgewandelt in:
(a*log(1-x) - log1)/logx

wie kommst du auf die Form:
alog(1-x)-logx+logx?

Chevron

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19

18.06.2010, 19:00

Zitat

Original von ]I[Michi
Danke, gibt es dafür keine einfache Methode? Da in der Prüfung teilweise auch Leute mit ganz normalen Taschenrechnern sitzen und ich denke, die Aufgabe ist auch für diese lösbar?

Da bei der Aufgabe nur zu zeigen (d.h. beweisen) ist, dass eine Lösung existiert, braucht man gar keinen Taschenrechner, sondern nur das Wissen, was Stetigkeit denn nun bedeutet :)

Eine stetige Funktion (wie hier 2^x - 3x^2), die sowohl einen positive als auch einen negativen Wert annimmt, muss eine Nullstelle besitzen, da sie ja nicht "springen" kann.


Zitat

Original von ]I[Michi
Eine Frage noch zu den limits:
lim(((1-x)^a-1)/x),x->0) wobei a eine Konstante ungleich 0 ist.

Ich müsste diese Funktion irgendwie dazu bekommen 0/0 zu werden um dann mit Hilfe von L'Hospital das Limit zu berechnen, nur leider weis ich nicht wie.

Setz doch mal x=0 in Zähler und Nenner ein, und du wirst feststellen, dass da schon "0/0" steht und du direkt Mr. L'Hospital drauf loslassen kannst :)

]I[Michi

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20

18.06.2010, 20:29

Hatte eine der grundlegenden Logarythmusregeln nichtmehr im Kopf ;) - jetzt ist mir alles klar, danke!

Aber ich hänge wieder bei einer Aufgabe:
http://www.bilder-space.de/show_img.php?…g&size=original

Kann ich diese Funktion einfach integrieren und dann addieren?

Also Integral(0,1)x^2
und Int(1,2)2x^5-1

also 1/3 + 20 ist die area under the curve?

AtroX_Worf

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21

18.06.2010, 21:17

Ja, stückweise ausrechnen.
Ist richtig.

]I[Michi

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22

20.06.2010, 15:11

Noch 1 Tag bis zur Prüfung und noch ein paar Unklarheiten:

http://www.bilder-space.de/show_img.php?…g&size=original

Den Hessian kann ich ausrechnen, aber die anderen beiden bereiten mir Schwierigkeiten.

Zur 1:
Mir ist klar, dass decreasing returns of scale dann vorliegen, wenn a+ß<1 sind. Ich habe es mir so gedacht, dass ich x-achse =a und y-achse=ß zeichne, dann eine 90grad Linie einzeichne und alle Punkte unter dieser Linie sind decreasing returns to scale, kommt mir aber zu einfach vor, aber müsste stimmen oder?

Zur 3:
Hier bin ich aufgeschmissen, kann ich das Integral int(0,x)tR(t)dt nach x2/2 integrieren? Dann wird die Aufgabe klar, ansonsten leider nicht... und ich denke meine Integration ist falsch, bzw. ich habe einen notwendigen Schritt übersprungen?

Chevron

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23

21.06.2010, 19:24

Zitat

Original von ]I[Michi
Die Hessematrix kann ich ausrechnen
Fixed ;)

Zitat

Original von ]I[Michi
Zur 1:
Mir ist klar, dass decreasing returns of scale dann vorliegen, wenn a+ß<1 sind. Ich habe es mir so gedacht, dass ich x-achse =a und y-achse=ß zeichne, dann eine 90grad Linie einzeichne und alle Punkte unter dieser Linie sind decreasing returns to scale, kommt mir aber zu einfach vor, aber müsste stimmen oder?

Das mit den 90° haut nicht so hin, aber es ist nur eine Gerade, die du einzeichnen musst.

Such dir zwei Punkte, für die
alpha + beta = 1
gilt, und verbinde sie zu einer Geraden. Den Bereich auf einer (welcher?) Seite der Geraden schraffierst du dann.

Zitat

Original von ]I[Michi
Zur 3:
Hier bin ich aufgeschmissen, kann ich das Integral int(0,x)tR(t)dt nach x2/2 integrieren? Dann wird die Aufgabe klar, ansonsten leider nicht... und ich denke meine Integration ist falsch, bzw. ich habe einen notwendigen Schritt übersprungen?

Das ist wieder ein Fall für L'Hospital, da sowohl Zähler als auch Nenner für x=0 verschwinden.

Das Integral selbst brauchst du gar nicht zu bestimmen, sondern nur dessen Ableitung, und die ist gleich der inneren Funktion (mit t=x eingesetzt).


Edit: Naja, wahrscheinlich ist die Prüfung eh schon vorbei ^^

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »Chevron« (21.06.2010, 19:25)